В прямоугольном треугольнике АМD катет MD равен: MD=a*tgα (так как tgα =MD/AD = MD/a). В квадрате ABCD половина диагонали OD = a*√2/2. Тогда в прямоугольном треугольнике OMD гипотенуза ОМ является искомым расстоянием от вершины М до прямой АС (так как плоскость ВМD перпендикулярна плоскости основания). По Пифагору МО = √(OD²+MD²) или МО = √[(a²+2a²*tg²α)/2] = a√[(1+2tg²α)/2]. Но 1+2tg²α = 1+2*Sin²α/Cos²α = (Cos²α + 2*Sin²α)/Cos²α = (Cos²α + Sin²α +Sin²α)/Cos²α = (1+Sin²α)/Cos²α. Тогда МО = a√[(1+Sin²α)/Cos²α)/2] = a*√[2*(1+Sin²α)]/2*Cosα.
Площадь полной поверхности нашей пирамиды равна сумме площадей основания и боковых граней, причем площади граней MDA и MDC равны, также как и площади граней MВA и MВC. Итак, Smabcd = Sabcd+2*Smda+2*Smba. Sabcd = a² (площадь квадрата). Грани MDA и MDC прямоугольные треугольники, так как <MDA и <MDC равны 90°. Грани MВA и MВC прямоугольные треугольники, так как <MAВ и <MCВ равны 90° в силу перпендикулярности плоскостей MDA и MDC к плоскости основания ABCD (cм. вид сверху) . В прямоугольном треугольнике MDA гипотенуза МА = a/Cosα. Smda = (1/2)*MD*AD = (1/2)*a*tgα*a = (1/2)*a²*tgα. Smba = 1/2)*MA*AB = (1/2)*(a/Cosα)*a = (1/2)*a²/Cosα. Тогда площадь полной поверхности пирамиды MABCD равна: Smabcd = a²+a²tgα+a²/Cosα =a²(1 + tgα + 1/Cosα) = a²(Cosα+Sinα+1)/Cosα.
Основные определения
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол
Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол
Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу
Поделиться статьей
АВТОР
Анастасия Белова
РУБРИКА
площадь, 8 класс
ДАТА ПУБЛИКАЦИИ
24.12.2020
ПРОСМОТРЫ
137430
Основные определения
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен 90˚.
Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу.
Катеты — это стороны, прилежащие к прямому углу.
Прямоугольный треугольник
Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно применить любую формулу нахождения площади треугольника — их несколько.
Вебинар :
Если ребенок не хочет учиться: советы родителям
Записаться →
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты
Чтобы найти площадь, нужно вывести формулу:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.
S = 1/2 (a × h)
Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то один катет — это высота, проведенная ко второму катету.
Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.
S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты
MD=a*tgα (так как tgα =MD/AD = MD/a).
В квадрате ABCD половина диагонали OD = a*√2/2.
Тогда в прямоугольном треугольнике OMD гипотенуза ОМ является искомым расстоянием от вершины М до прямой АС (так как плоскость ВМD перпендикулярна плоскости основания). По Пифагору МО = √(OD²+MD²) или МО = √[(a²+2a²*tg²α)/2] = a√[(1+2tg²α)/2].
Но 1+2tg²α = 1+2*Sin²α/Cos²α = (Cos²α + 2*Sin²α)/Cos²α = (Cos²α + Sin²α +Sin²α)/Cos²α = (1+Sin²α)/Cos²α.
Тогда МО = a√[(1+Sin²α)/Cos²α)/2] = a*√[2*(1+Sin²α)]/2*Cosα.
Площадь полной поверхности нашей пирамиды равна сумме площадей основания и боковых граней, причем площади граней MDA и MDC равны, также как и площади граней MВA и MВC. Итак,
Smabcd = Sabcd+2*Smda+2*Smba.
Sabcd = a² (площадь квадрата).
Грани MDA и MDC прямоугольные треугольники, так как <MDA и <MDC равны 90°.
Грани MВA и MВC прямоугольные треугольники, так как <MAВ и <MCВ равны 90° в силу перпендикулярности плоскостей MDA и MDC к плоскости основания ABCD (cм. вид сверху) .
В прямоугольном треугольнике MDA гипотенуза МА = a/Cosα.
Smda = (1/2)*MD*AD = (1/2)*a*tgα*a = (1/2)*a²*tgα.
Smba = 1/2)*MA*AB = (1/2)*(a/Cosα)*a = (1/2)*a²/Cosα.
Тогда площадь полной поверхности пирамиды MABCD равна:
Smabcd = a²+a²tgα+a²/Cosα =a²(1 + tgα + 1/Cosα) = a²(Cosα+Sinα+1)/Cosα.