Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором AB=9, AD=4, CC1=11. На рёбрах АА1 и ВВ1 взяты точки М и Р соответственно, так что АМ : АА1 = 3:7, ВР : ВВ1 = 3 : 11. Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение данного параллелепипеда плоскостью MBD1, а вершиной – точка Р.

1)Дано:тр.АВС,угол С=90 гр,СД-высота,угол АСД=4угламДСВ. 
Найти:угол А,угол В. 
Решение: 
1)пусть угол ДСВ=х гр,тогда угол АСД=4х гр. 
х+4х=90 
5х=90 
х=18 
Значит,угол ДСВ=18 гр,угол АСД=72 гр. 
2)угол А=90-72=18(гр);угол В=90-18=72(гр).

2)

треугольник АМВ прямоугольный,угол М=90градуссов,угол МВА=30 градуссов,АМ=половине АВ,так как катет лежит против угла в 30 градуссов,АМ=9 см

По теореме Пифагора можем найти ВМ,АВ в квадрате= АМ в квадрате +ВМ в квадрате

ВМ= корень квадратный из АВ в квадрате минус Ам в квадрате

ВМ=9 корней из 3 см 

по условию задачи  основание пирамиды - равностороний треугольник. Пусть в нем сторона равна x, тогда

                 h^2=x^2+x^2/4

                 h^2=3x^2/4

                 h=x√3/2

                 x=2h/√3=2*12/√3=24/√3 =√192=8√3

площадь основания равна

                 s=ah/2

                 s=8√3*12/2=48√3

найдем высоту одной грани пирамиды

высота пирамиды проектирунется в центр основания  O,  причем высота основания делится в отношении 2:1 начиная от вершины, поэтому если AK-высота основания, то OK=12/3=4

то есть

             h1^2=h^2+OK^2

             h1^2=144+16=160

              h1=4√10

Площадь одной боковой грани равна

              s1=h1*a/2

              s1=4√10*8√3/2=32√30

Общая площадь равна

              SO=s+3s1=48√3+96√30