Дан прямоугольный треугольник ABC (угол C=900). В нём проведена высота СН. АН=4, HB=10. Найти высоту треугольника, катеты, а также синус угла А и тангенс угла В.

В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK, равным 10 см ,
MN=NK=20 см. На стороне NK лежит точка A так,  что AK : AN как 1 : 3. Найти AM.
Сделаем рисунок. 
АК:КN=1:3 
Пусть коэффициент этого отношения будет х.
Так как NK=20=х+3х=4x, 
AK=20:4=5см 
Проведем АВ параллельно основанию МК и  АС параллельно боковой стороне NM. 
Треугольники MNK и ABN подобны с коэффициентом подобия  KN:AN=4:3 
Cледовательно, МК:АВ=4:3 
10:АВ=4:3 
4АВ=30 
АВ=7,5 см 
В параллелограмме АВМС противоположные стороны равны. 
ВМ=АК=АС=5 см 
МС=7,5 см 
Треугольник АСК - равнобедренный. 
Найдем по т. Пифагора его высоту АН.
 КС=МК-МС=10-7,5=2,5 см
 НК=1,25 см 
АН²= (АК²-НК²)=(5²-1,25²)=23,4375  
Из прямоугольного треугольника НАМ найдем АМ по т.Пифагора: 
АМ=√(МН²+АН²)=√(7,5²+23,4375)=√100=10 см

латиница заменена на кириллицу, Квадрат МНРК, МН=НР=РК=МК=12, ДО-перпендикуляр к плоскости МНРК, ДЩ=8, проводим перпендикуляр ОА на НР, ОА=1/2МН=12/2=6, треугольник ДОА прямоугольный, ДА-расстояние от Д до НР=корень(ДО в квадрат+ОА в квадрате)=корень(64+36)=10, МР=НК=корень(МН в квадрате+НР в квадрате)=корень(144+144)=12*корень2, МО=НО=РО=КО=МР/2=12*корень2/2=6*корень2, МД=НД, треугольник МДО прямоугольный, МД=корень(ДО в квадрате+МО в квадрате)=корень(64+72)=корень136=НД, треугольник МДН равнобедренный, проводим высоту ДВ =медиане на МН, МВ=ВН=1/2МН=12/2=6, треугольник МДВ прямоугольный, ДВ=корень(МД в квадрате-МВ в квадрате)=корень(136-36)=10, площадь МДН=1/2МН*МД=1/2*12*10=60, площадь проекции=площади треугольника МОН=1/2*МО*НО=1/2*6*корень2*6*корень2=36, треугольник МОН прямоугольный, равнобедренный, ОВ - высота на МН=медиане, медиана в прямоугольном треугольнике проведенная к гипотенузе=1/2гипотенузы=1/2МН, ОВ-расстояние между прямыми ОД и МН=1/2МН=12/2=6