Дан ромб ABCD со стороной 4a, углом A = 60 градусов. Из вершины ромба A, проведён перпендикуляр AK который равен "a" .Посчитайте расстояние от точки K до вершины ромба B и C, и до стороны BC.

1)Прямоугольник это параллелограмм.У параллелограмма стороны попарно равны и параллельны. Т.е. их векторы равны
(вектор AB=векторуDC). Почему не CD?Потому что они должны быть сонаправлены.Не, ну можно конечно взять и CD, но не пугайтесь, если выйдут векторы с противоположными знаками.
Итак, вектор AB={0+6; 5-1}={6;4}
                    DC={0-6; -8+4}={-6;-4}
не порядок...тогда фигура должна быть не ABCD. а ABDC...уточните это у учителя
но меня это не остановит!Извините, что так много пишу.
AB=CD все-таки и ABCD у нас -параллелограмм.
У прямоугольника диагонали равны. т.е. AC=DB это отрезки, не векторы
АС=V(6+6)^2+(-4-1)^2 (V-корень квадратный) т.е. АС=13
BD=V0+(-8-5)^2 BD=13
AC=BD что и требовалось доказать.
2)Пересечение диагоналей, это их середина в прямоугольнике ⇒ вектор АО={6;-2,5} (вектор AC/2) т.е х+6=6⇒х=0; у-1=-2,5⇒у=-1.5 (это я представила вектор как разность координат А и О(х;у))
О(0;-1,5)

Пусть стороны трапеции будут a и c, меньшее основание - b? большее основание - d. Отрезки, на которые делится средняя линия диагональю, проходящей из верхнего левого угла в правый нижний - x и y. Тогда имеем:
х - y = 16, y = х -16. d =2*x (так как х - средняя линия треугольника с большим основанием. b =2*y (так как y - средняя линия треугольника с меньшим основанием трапеции. Тогда b = 2(х-16). В равнобочной трапеции высота, опущенная на большее основание, делит его на отрезки, равные полуразности и полусумме оснований. Полуразность оснований лежит против угла 30° в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - боковая сторона трапеции. Тогда (d-b)/2 = 2(x-x+16)/2 = 16. Итак, боковая сторона равна 16*2=32см.(как гипотенуза). Сумма двух оснований равна 144-2*32 = 80см.
Имеем: d+b = 80cм, а d-b = 32см, отсюда 2d=112, d = 56cм. Ну и b = 80-56=24cм.
ответ: основания трапеции равны 24см и 56см.
Рисунок добавлю.