Дан треугольник ABC , ∠ ABC = 30 ∘ . Медиана CM этого треугольника равна его высоте AH . Найдите больший угол этого треугольника. ответ запишите в градусах.

Обозначим вершины треугольника: А, В, С, основание высоты из вершины В прямого угла  - М, точку пересечения биссектрисой гипотенузы - К.
Тогда ВМ / ВК = cos МВК. Угол МВК = arc cos (ВМ / ВК).
Угол  СВК = КВА = 45°, так как  ВК - биссектриса прямого угла.
Угол СВМ = 45 - (arc cos (ВМ / ВК)),
 а угол МВА =45 + (arc cos (ВМ / ВК)).
Отсюда стороны треугольника равны:
ВС = ВМ / cos(45 - (arc cos (ВМ / ВК))).
BA = BM / cos(45 + (arc cos (ВМ / ВК)).
Гипотенузу АС находим по Пифагору: СА = √(ВС²+ВА²), тогда площадь треугольника АВС = (1/2)*АС*ВМ.

 А1                          С1              В1       Точки В1, С1, А1 принадлежат прямой l. 
                                                            Это точки касания. ВВ1=в, АА1=а
 С2                          С              C3        Проводим перпендикуляр СС2 на АА1.    
                                                            СА=а+с, АС2=а-с. Из тр-ка АС2С 
 B2                                           В        CC2^2=(a+c)^2+(a-c)^2=a^2+2ac+c^2-a^2+2ac- 
                                                          -c^2=4ac. CC2=A1C1. Аналогично из тр-ка
                                                          СС3В  CC3^2=bc.  CC3=CB1. Из тр-ка АВВ2
А                                                      где АВ=a+b, AB2=a-b  BB2^2=4ab. BB2=A1B1

A1B1=A1C1+C1B1. 2Vab=2Vac+2Vbc  Vab=Vac+Vbc=Vc(Va+Vb)  1/Va+1/Vb=1/Vc
1/V36+1/V16=1/Vc  1/6+1/4=1/Vc Vc=2,4  c=5,76
ответ: радиус окружности 5,76