Дан треугольник ABC ступым углом С. На продолжении стороны AC за точку с отмечена точка D. Оказалось, что описанная окружность треугольника ABC проходит через точку пересечения высот треугольника BCD. Чему равен угол ABD, если угол CAB = 50°?
Пункты 1) и 2) относятся к варианту, когда отрезок АМ вертикален, тогда плоскость МАВ тоже вертикальна. 1) В плоскости СДЕ провести отрезок ЕВ1, равный АВ и параллельный ему. Он одновременно находится в плоскости СДЕ и в вертикальной плоскости МАВ. Поэтому точка F пересечения отрезка МВ с плоскостью СДЕ находится на пересечении отрезков МВ и ЕВ1.
2) В плоскости МАВ 2 подобных треугольника: МЕF и FF1B ( точка F1 - проекция точки F на АВ). Отрезок FF1 равен ЕА. Поэтому F1B = (3/2)*10 = 15 см. АF1 = ЕF = 10 см. Отсюда АВ = 10+15 = 25 см.
Примечание: данное решение - частный случай, так как где бы ни находилась точка М, ∆ MFE и ∆ AMB остаются подобными, отношение ЕF:AB=2:5, и АВ получается равным 25.
Заметим, что AB + BC = AC. Единственный вариант для этих точек - это если они все лежат на одной прямой.
Мыслим дальше. Видим аналогичный прикол: AC + CD = AD. Значит и точка D лежит на той же прямой.
Ну а дальше можно пойти двумя
1) Сказать, что такого выпуклого четырёхугольника не существует, а значит условие противоречивво и доказывать тут нечего.
2) Не заметить эту тонкость и сказать, что раз все точки лежат на одной прямой, то и все отрезки лежат на ней же, и можно сказать, что они все друг другу параллельны. Ну а это значит, что это трапеция.
1) В плоскости СДЕ провести отрезок ЕВ1, равный АВ и параллельный ему. Он одновременно находится в плоскости СДЕ и в вертикальной плоскости МАВ. Поэтому точка F пересечения отрезка МВ с плоскостью СДЕ находится на пересечении отрезков МВ и ЕВ1.
2) В плоскости МАВ 2 подобных треугольника: МЕF и FF1B ( точка F1 - проекция точки F на АВ).
Отрезок FF1 равен ЕА.
Поэтому F1B = (3/2)*10 = 15 см.
АF1 = ЕF = 10 см.
Отсюда АВ = 10+15 = 25 см.
Примечание: данное решение - частный случай, так как где бы ни находилась точка М, ∆ MFE и ∆ AMB остаются подобными, отношение ЕF:AB=2:5, и АВ получается равным 25.
Заметим, что AB + BC = AC. Единственный вариант для этих точек - это если они все лежат на одной прямой.
Мыслим дальше. Видим аналогичный прикол: AC + CD = AD. Значит и точка D лежит на той же прямой.
Ну а дальше можно пойти двумя
1) Сказать, что такого выпуклого четырёхугольника не существует, а значит условие противоречивво и доказывать тут нечего.
2) Не заметить эту тонкость и сказать, что раз все точки лежат на одной прямой, то и все отрезки лежат на ней же, и можно сказать, что они все друг другу параллельны. Ну а это значит, что это трапеция.