Дан треугольник АВС, в котором АВ=12, АС=8, ВС=16. На стороне АС взята точка Х1 такая, что АХ1=2. На сторонах треугольника последовательно построены точки Х2, Х3, Х4, Х5, Х6 такие, что Х1Х2 || ВС, Х2Х3 || АС, Х3Х4 || АВ, Х4Х5 || ВС, Х5Х6 || АС. Найдите длину отрезка Х3Х6.

1.
Радиус  r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1.
S =π*r₁² ⇒  r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π)  < 1 = r.
значит можно.
2. Не может.
k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ .
Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 1 : 2  ⇒BE = k₂ , EC  =  2k₂  ;  BC=3k₂.
CF : FA   =  1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA  =  2k₃  ; AC =3k₃.
DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ;
EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ .
AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁
⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.

Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 2 : 1  ⇒BE = 2k₂ , EC  =  k₂  ;  BC=3k₂.
DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда  точка касания  F середина  AC.

L, M - середины сторон.

Продлим LM до пересечения с AB в точке K

BL=LC (по условию)

∠KBL=∠C (накрест лежащие при AB||CD)

∠KLB=∠MLC (вертикальные)

△KBL=△MCL (по стороне и прилежащим углам) => KL=LM

△KAM: AL - биссектриса (по условию) и медиана, следовательно и высота, ∠ALM=90.

Продлим LM до пересечения с AD в точке N

Рассуждая аналогично, △MDN=△MCL => MN=LM =>

△NAL: AM - биссектриса/медиана, следовательно и высота, ∠AMN=90

Из точки A можно провести только один перпендикуляр к прямой LM. Следовательно данная конфигурация невозможна.