Обозначим О - точка пересечения биссектрисы и медианы. Пусть длина биссектрисы p, длина гипотенузы а, СО = q, обозначим так же за Ф половину угла С.
В силу того, что треугольник прямоугольный, медиана АМ равна половине основания, и треугольник СМА равнобедренный. Угол МАС = 2*Ф, поэтому угол МОС = 3*Ф, угол АМВ = 4*Ф.
Применим теорему синусов к треугольнику МОС
(a/2)/sin(3*Ф) = q/sin(pi - 4*Ф);
кроме того,
а*cos(2*Ф) = p*cos(Ф); (равно катету, который сторона угла ВАС)
Отсюда (просто делим одно на другое)
2*cos(2*Ф)*sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(4*Ф); поупрощаем немного
Формула объёма конуса
V=S•h/3
S=πR²=π6²=36π см²
Высоту h=ВН нужно найти.
Рассмотрим рисунок осевого сечения конуса с вписанной в него сферой. Это равнобедренный треугольник АВС с вписанной в него окружностью.
АН=6 - радиус основания конуса, О- центр окружности.
ОН=3 - радиус сферы.
BH=AH•tgBAH=6tgBAH
Центр О вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис. ⇒
ВН и АМ - биссектрисы.
Примем угол ОАН=ОАВ=α, тогда угол ВАН=2α
tgα=3/6=0,5
tg2α=2tgα:(1-tg²α)
tg2α=2•0,5:(1-0,5²)=1/0,75⇒
BH=6•(1/0,75)=8 см
V=36π•8:3=96π см³
Обозначим О - точка пересечения биссектрисы и медианы. Пусть длина биссектрисы p, длина гипотенузы а, СО = q, обозначим так же за Ф половину угла С.
В силу того, что треугольник прямоугольный, медиана АМ равна половине основания, и треугольник СМА равнобедренный. Угол МАС = 2*Ф, поэтому угол МОС = 3*Ф, угол АМВ = 4*Ф.
Применим теорему синусов к треугольнику МОС
(a/2)/sin(3*Ф) = q/sin(pi - 4*Ф);
кроме того,
а*cos(2*Ф) = p*cos(Ф); (равно катету, который сторона угла ВАС)
Отсюда (просто делим одно на другое)
2*cos(2*Ф)*sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(4*Ф); поупрощаем немного
sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(2*Ф);
sin(Ф)*(3 - 4*(sin(Ф))^2) = (p/q)*2*(cos(Ф))^2*sin(Ф);
3 - 2*(1-cos(2*Ф)) = (p/q)*(1+cos(2*Ф));
cos(2*Ф) = (p/q - 1)/(2 - p/q); покольку угол ВСА и есть 2*Ф, то это ответ.
В случае, если p/q = 13/9 (так задано в условии),
cos(2*Ф) = 4/5;
а, ну да, надо тангенс... 3/4 будет тангенс...
треугольник подобен простейшему пифагоровому (со сторонами 3,4,5)
Если обозначить за d = q/(p - q); (то есть то самое отношение, которое по условию равно 9/4), то выражение для cos(2*Ф) можно привести к виду
cos(2*Ф) = 1/(d - 1);
что выглядит еще симпатичнее.