Дан треугольник НОТ. На сторонах НО и НТ взяты точки М и Х соответственно, причём отрезок МХ параллелен третьей стороне треугольника, а НО =15см, МО= 6 см, НХ = 12 см. а) Найти НТ
б) Найти отношение площадей треугольников НОТ и ему подобного.

(x -21/11)/(-9/11) = (y+32/11)/-(3/11) = (z+31/11)/(-3/11).

Объяснение:

Если известна некоторая точка пространства М(x0;y0;z0) , принадлежащая прямой, и направляющий вектор  p(p1;p2;p3) данной прямой, то  канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:

(x-x0)/p1 = (y-y0)/p2 = (z-z0)/p3.

В нашем случае точка М1(1;-2;-1) принадлежит прямой l1, направляющий вектор которой р1{1;-1;-2}. Tочка М2(-1;1;-1)  принадлежит прямой l2, направляющий вектор которой р2{-1;2;1}.

Найдем векторное произведение векторов р1 и р2. По определению это произведение дает нам вектор, перпендикулярный плоскости параллелограмма, построенного на этих векторах.

                     |  i    j    k  |

p = (р1*р2) = |  1  -1  -2   |   = (-1 - (-4))·i - (1 - 2)·j + (2-1)·k.  Или

                     | -1   2   1  |

p{3;1;1}  - направляющий вектор искомого общего перпендикуляра.  

Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

                                                       x =  t +1

L1: (x - 1)/1 = (y+2)/-1 = (z+1)/-2  =>  y = -t -2  

                                                       z = -2t -1

Обозначим точку Т1 на прямой L1 через параметр tо:

       x1 =  tо +1

Т1:  y1 = -tо - 2

       z1 = -2tо-1

Или Т1( tо +1;-tо -2;-2tо -1).

То же самое со второй прямой:

                                                           x =  -s -1

L2: (x + 1)/-1 = (y-1)/2 = (z+1)/1  =>  y = 2s +1  

                                                           z =  s -1

Обозначим точку Т2 на прямой L2 через параметр sо:

       x2 =  -sо - 1

Т2:  y2 = 2sо + 1

       z2 =  sо - 1

Или Т2(-sо - 1;2sо + 1;sо - 1).

Вектор Т1Т2, как и вектор р{3;1;1} - направляющий вектор искомого общего перпендикуляра.

Находим координаты вектора Т1Т2 по известному правилу:

Т1Т2 = {-sо - 1- (tо +1);2sо + 1 -(-tо -2);sо - 1 - (-2tо-1)} или

Т1Т2 = {-sо - tо -2;2sо +tо +3;sо +2tо)}.

Так как векторы р{3;1;1} и Т1Т2{-sо - tо -2;2sо +tо +3;sо +2tо)} коллинеарны, то  

Т1Т2{-sо - tо -2;2sо +tо +3;sо +2tо)} = k*р{3;1;1}.  =>

-sо - tо -2 = 3k (1)

2sо +tо +3= k  (2)

sо +2tо = k      (3)

Имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

2sо +tо +3= sо +2tо  =>  to = so+3

-so -so-3 -2 = 3(sо +2tо) =>  -so -so-5 = 3(sо +2(so+3)).

so = -23/11. => to = 10/11  => k= -3/11.  =>

T1(21/11;-32/11;-31/11).

T2(12/11;-35/11;-34/11).

Проверим:  

Подставим координаты точки Т1 в уравнение прямой L1 =>

10/11 = 10/11 = 10/11.  OK!

Подставим координаты точки Т2 в уравнение прямой L2 =>

-23/11 = -23/11 = -23/11.  OK!

Точки Т1 и Т2 принадлежат соответственно прямым L1 и L2.

Ну и окончательно:

уравнение прямой, проходящей через две точки (Т1 и Т2) по формуле

(x - x1)/(x2-x1) = (y - y1)/(y2-y1) = (z - z1)/(z2-z1):

L3: (x -21/11)/(-9/11) = (y+32/11)/-(3/11) = (z+31/11)/(-3/11).

Проверка:

Вектор Т1Т2 = {23/11-10/11-22/11;-46/11+10/11+33/11;-23/11+2011} или  

Т1Т2{-9/11;-3/11;-3/11}.

Вектор р1{1;-1;-2}.

Cкалярное произведение этих векторов: (-9/11 + 3/11 + 6/11) = 0  =>

Вектора перпендикулярны!

Вектор р2{-1;2;1}.

Cкалярное произведение этих векторов: (9/11 - 6/11 - 3/11) = 0  =>

Вектора перпендикулярны!

То есть вектор, проходящий через точки Т1 и Т2 перпендикулярен направляющим векторам прямых L1 и L2 =>

Прямая L3 является общим перпендикуляром к прямым L1 и L2.

Две стороны параллелограмма заданы уравнениями 2x-y+5=0 (это прямая АВ) и x-2y+4=0 (это прямая АД), его диагонали пересекаются в точке О(1,4). Найти длины его высот.

Находим координаты точка А как точки пересечения сторон.

2x-y+5=0 |x(-2)   -4x+2y-10=0

x-2y+4=0               x-2y+4=0    

                           -3x    - 6 = 0,

                               x(A) = -6/3 = -2,

                               y(A) = 2x - 5 = 2*(-2) + 5 = 1.

Находим точку С как симметричную точке А относительно точке пересечения диагоналей (это точка О).

х(С) = 2х(О) - х(А) = 2*1 - (-2) = 4,

у(С) = 2у(О) - у(А) = 2*4 - 1 = 7.

Через точку С проводим прямую, параллельную АД.

Выражаем уравнение АД относительно у: у(АД) = (1/2)х + 2.

Угловой коэффициент параллельной прямой сохраняется.

у(ВС) = (1/2)х + в. Подставим координаты точки С.

7 = (1/2)*4 + в, откуда находим в = 7 - 2 = 5.

Уравнение ВС: у = (1/2)х + 5.

Находим координаты точки В кк точки пересечения АВ и ВС.

2х + 5 = (1/2)х + 5, отсюда следует х = 0, у = 5.

Координаты точки Д находим как симметричную точке В относительно точки О: х(Д) = 2*1 - 0 = 2, у(Д) = 2*4 - 5 = 3.

Находим длины сторон.

AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) =   20 4,472135955

BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) =   20 4,472135955

CD = √((xD-xC)² + (yD-yC)²) =   20 4,472135955

AD = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) =   20 4,472135955 .

Находим длины диагоналей.

AC  = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) =   72 8,485281374

BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) =   8 2,828427125 .

Как видим, это ромб.

Его площадь S = (1/2)*AC*BD = (1/2)*V72*V8 = 12.

Высоты равны h = S/a = 12/V20 = 12/(2V5) = 6V5/5.