Дан выпуклый произвольный пятиугольник ABCDE. Постройте пятиугольник, симметричный данному, относительно точки О, если O - точка пересечения его диагоналей AC и BD.

Проведём все три медианы данного треугольника и отметим точками их середины. Соединив точки мы получим треугольник, подобный данному. Подобие основывается на расстояниях от углов треугольника до соответствующих точек на лучах, совпадающих с медианами и исходящих из углов треугольника, с соблюдением соотношения этих расстояний друг к другу. Собственно подобие треугольников и гарантирует нам, что плоскость, проведенная через две середины медиан и не совпадающая с плоскостью треугольника, будет параллельна одной из сторон данного треугольника.

Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого много чего следует, в том числе соотношения: h=a*b/c и h²=d*e, где h - высота, a,b и c - катеты и гипотенуза, d и e - отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой.
Учитывая это, находим катеты по Пифагору: с²=2500 = 16х²+9х², откуда х=10.
Итак, катеты равны 40 и 30. Тогда h = 40*30/50 = 24.
h² = х*(50-х), откуда х²-50х+576 =0, а х = 25±7
Х1 = 32
Х2 = 18.
Это и есть ответ.