Дана правильная четырехугольная пирамида ЕАВСD. Точка К –
пересечение диагоналей основания. Указать взаимное расположение:
а) прямых СD и АЕ;
б) прямых ЕD и DС;
в) прямых АD и ВС;
г) прямых КЕ и АD;

а) Меньшая высота параллелограмма находится из равнобедренного прямоугольного треугольника АВН (острые углы = 45°). По Пифагору 2*ВН²=АВ². Тогда 2*ВН²=а²*2, отсюда ВН=а. Это и высота параллелепипеда.

б) Угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания - это двугранный угол, измеряемый градусной мерой линейного угла D1KD, образованный перпендикулярами D1K и DK к ребру АВ. Cинус этого угла равен отношению DD1/KD1. В прямоугольном треугольнике АКD:  

<КАD =<KDA = 45°. Значит АК=КD= а√2.

Тогда КD1=√(КD²+DD1²)=√(2а²+а²)=а√3.  

Sinα = a/а√3 = √3/3.

ответ: искомый угол равен arcsin(√3/3).

в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту, то есть Sб=2*(а√3+2а)*а =а²(2+√2).

г) Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей баковой поверхности и удвоенной площади основания. То есть

Sполн=а²(2+√2)+2*AD*BH=а²(2+√2)+4а² = а²(6+√2).

Окружность радиусом 13 клеток изображена на рис. 1

Узлы клеток, через которые проходит окружность, выделены.

Рекомендации для изображения такой окружности "от руки":

отмечаем точку в узле клетокдвигаемся вправо на 1 клетку, вверх на 5, отмечаем точкувправо на 1 клетку, вверх на 2, отмечаем точкувправо на 4 клетки, вверх на 4, отмечаем точкувправо на 2 клетки, вверх на 1, отмечаем точкувправо на 5 клеток, вверх на 1, отмечаем точку.

Если соединить эти точки плавной линией, получим четверть окружности.

Чтобы достроить окружность, надо повторить эти действия, изменяя направление движения.

Правило можно кратко сформулировать так:

1-5, 1-2, 4-4, 2-1, 5-1