1) В треугольниках АВС и ADC углы В и D прямые. Значит, при наложении их стороны совпадут. Совместим их так, чтобы луч ВА совпал с лучом DC, а луч ВС совпал с лучом DA. Так как у прямоугольника противоположные стороны равны, то совпадут и отрезки АВ и СD, и ВС и AD. Тогда совпадут и третьи стороны треугольников. Треугольники совпали при наложении, значит они равны.
2) АВ = CD и ВС = AD как противоположные стороны прямоугольника, ∠АВС = ADC = 90°, ⇒ ΔАВС = ΔCDA по двум сторонам и углу между ними ( по первому признаку)
АС - общая сторона треугольников АВС и ADC, ∠ВАС = ∠DCA как накрест лежащие при пересечении АВ║CD секущей АС, ∠ВСА = ∠DAC как накрест лежащие при пересечении ВС║AD секущей АС, ⇒ ΔАВС = ΔCDA по стороне и двум прилежащим к ней углам ( по второму признаку)
Найти длину биссектрисы угла А.
Решение.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла.
То есть ВН/НС=12/15 = 4/5. => ВН=8, НС=10.
<BAH=<CAH (АН - биссектриса).
Тогда по теореме косинусов:
Cos(A/2) = (АН²+12² - 8²)/(2*АН*12) - из треугольника ВАН. (1)
Cos(A/2) = (АН²+15² - 10²)/2*АН*15) - из треугольника САН. (2)
Приравняем (1) и (2):
(АН²+125)/30АН = (АН²+80)/24АН => 4(АН²+125)=5(АН²+80) =>
АН²=100. АН=10.
ответ: биссектриса АН=10.
Совместим их так, чтобы луч ВА совпал с лучом DC, а луч ВС совпал с лучом DA.
Так как у прямоугольника противоположные стороны равны, то совпадут и отрезки АВ и СD, и ВС и AD.
Тогда совпадут и третьи стороны треугольников.
Треугольники совпали при наложении, значит они равны.
2) АВ = CD и ВС = AD как противоположные стороны прямоугольника,
∠АВС = ADC = 90°, ⇒
ΔАВС = ΔCDA по двум сторонам и углу между ними ( по первому признаку)
АС - общая сторона треугольников АВС и ADC,
∠ВАС = ∠DCA как накрест лежащие при пересечении АВ║CD секущей АС,
∠ВСА = ∠DAC как накрест лежащие при пересечении ВС║AD секущей АС, ⇒ ΔАВС = ΔCDA по стороне и двум прилежащим к ней углам ( по второму признаку)