Интересно, где Вы учитесь, если такие задачи задают. Вот решение этой задачи без теории (вывод формул ищите в учебнике или в записях занятий) Мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3; Окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. Если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других. то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3; Остается подставить это в известные соотношения 1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3; и 4R = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где R - радиус описанной окружности. то есть 4R = r^2*(1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3; это все. Я бы конечно мог привести вывод этих формул, но Вам бы никогда не задали эту задачу, если бы не выводили их на занятиях. К примеру, площадь S исходного треугольника равна S = (p - a)*ρ1 = (p - b)*ρ2 = (p - c)*ρ3 = p*r; откуда 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a)/S + (p - b)/S + ( p - c)/2 = (3p - a - b - c)/S = p/S = 1/r; Вывод формулы для R намного сложнее технически, но по сути - то же самое.
1) Кстати, понятие длина круга некорректно, правильно говорить о длине окружности. Из условия не понял положение окружности относительно фигуры, расписывай два случая. Длина окружности вычисляется по формуле l=2ПR, т.е. задача сводится к нахождению радиуса окружности. В случае, если окружность описана возле треугольника, ее можно найти по формуле R=a/√3; R=6√3/√3=6 (см). Тогда l=6*2*П=12П. Если же окружность вписана в треугольник, то радиус будет в 2 раза короче (т.к. R=2r), следовательно l=2*3*П=6П. 2) Радиус описанной около квадрата окружности равен R=a√2/2=5√2/2, следовательно, l=2*5√2/2*П=5√2П. Если окружность вписана, то ее радиус = 1/2 стороны, т.е. r=2.5, значит l=2*2.5*П=5П. 3) Радиус описанной около 6-угольника окружности = стороне, l=2*10*П=20П. Радиус вписанной в 6-угольник окружности можно найти по формуле r=√3/2*R; r=√3/2*10=5√3 (см), l=2*5√3*П=10√3П.
Мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3;
Окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. Если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции
ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других.
то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3;
Остается подставить это в известные соотношения
1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3;
и
4R = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где R - радиус описанной окружности.
то есть 4R = r^2*(1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3;
это все.
Я бы конечно мог привести вывод этих формул, но Вам бы никогда не задали эту задачу, если бы не выводили их на занятиях.
К примеру, площадь S исходного треугольника равна
S = (p - a)*ρ1 = (p - b)*ρ2 = (p - c)*ρ3 = p*r; откуда
1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a)/S + (p - b)/S + ( p - c)/2 = (3p - a - b - c)/S = p/S = 1/r;
Вывод формулы для R намного сложнее технически, но по сути - то же самое.
2) Радиус описанной около квадрата окружности равен R=a√2/2=5√2/2, следовательно, l=2*5√2/2*П=5√2П. Если окружность вписана, то ее радиус = 1/2 стороны, т.е. r=2.5, значит l=2*2.5*П=5П.
3) Радиус описанной около 6-угольника окружности = стороне, l=2*10*П=20П. Радиус вписанной в 6-угольник окружности можно найти по формуле r=√3/2*R; r=√3/2*10=5√3 (см), l=2*5√3*П=10√3П.