Дана правильная треугольная призма , у которой длины всех рёбер равны 1. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите:
а) вектор AB × вектор ;
б) ∠(вектор , вектор );
в) вектор × вектор .

Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция АВСД с боковой стороной 5 см, и основаниями 2 см и 8 см. Боковое ребро призмы равно 6 см.

Проекция  бокового ребра на нижнее основание равна:

АВ1 = (8-2)/2 = 6/2 = 3 см.

Если гипотенуза 5 см, а один катет 3 см, то второй катет (это высота трапеции) равен 4 см (по Пифагору).

Площадь So основания равна:

So = ((2+8)/2)*4 = 20 см².

Периметр Р трапеции равен:

Р = 2*5 + 2 + 8 = 20 см.

Площадь Sбок боковой поверхности равна:

Sбок = PH = 20*6 = 120 см².

Площадь S полной поверхности призмы равна:

S = 2So + Sбок = 2*20 + 120 = 160 см².

Положим что CAB=a ,тогда из условия CEA=a.
Выразим углы CIM , CKI через a , ACE=180-2a , так как ACB=90 , то BCE=90-(180-2a)=2a-90 , CL-биссектриса , значит EC=KCI=BCE/2=a-45 , аналогично CEL=CEB/2=(180-CEA)/2=90-(a/2) , значит CIK=ECI+CEI=45+(a/2) , откуда CKI=180-(3a/2).
То есть углы в треугольнике IKC равны
I=a/2+45 , C=a-45 , K=180-(3a/2)
По условию IKC равнобедренный , значит надо проверить три условия равенства углов
1) I=C
2) C=K
3) I=K
Подходит только I=K (решая уравнения) , откуда a=135/2
Найдём угол CLK=180-(a-45+180-a)=45 . Получаем
AC/sin45=CL/sina
CL/AB=AC*sina/(AB*sin45)=2*cosa*sina/sqrt(2)=sin(2a)/sqrt(2)=sin135/sqrt(2)=1/2
ответ CL/AB=1/2