Данный прямоугольник вращается вокруг прямой, проходящей через серединные точки сторон BM и AN, и образует цилиндр.
Отметь правильные величины (если радиус цилиндра обозначается через R, а высота — через H):
H=12BM
H=12AB
H=BM
H=AB
R=12BM
R=AB
R=12AB
R=BM

Нам даны соотношения сторон тетраэдра:

AB*CD = AC*BD = AD*BC. Или, сгруппировав их по другому, имеем:

Для треугольников АВС и DBC с общей стороной ВС:

AB/AC=BD/DC. (1)

Для треугольников АВС и ABD с общей стороной АВ:

AC/BC=AD/BD. (2)

Для треугольников АВС и ADC с общей стороной АС:

AB/BC=AD/DC. (3)

Эти отношения равны между собой (дано).

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его внутренних углов, а биссектрисы делят противоположные стороны в отношении прилегающих сторон (свойство).

Причем это свойство имеет обратную силу, то есть, если прямая, проведенная из вершины угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилегающих сторон, то эта прямая - биссектриса

угла.

Если провести в наших треугольниках биссектрисы к общим сторонам, то

они пересекутся в точках, лежащих на этих сторонах в силу соотношений

(1), (2) и (3):

AID и DIA - в точке Н, например, а CID и DIC - в точке К. То же самое

и с другими биссектрисами.

Следовательно, точки А,Н и D лежат в одной плоскости АНD и прямые AIA и DID пересекаются.

Точно так же в плоскости АСN лежат прямые AIA и CIC, которые пересекаются.

Прямые DID и CIC лежат в плоскости DCK, и также пересекаются.

Итак, прямые AIA и DID имеют общую точку.

А прямая CIC также имеет общую точку и с прямой AIA и с прямой DID,

но лежит в другой плоскости, следовательно эта точка должна быть одной и той же общей точкой.

То же и с пересекающимися прямыми DID и ВIВ, которые лежат в

плоскости BMD.

Имеем четыре пары пересекающихся прямых (AIA и DID, AIA и CIC,

DID и CIC, DID и ВIВ), лежащих в четырех разных плоскостях (АНD,АСN,DCK и BMD соответственно).

Эти выводы справедливы для любых пар данных нам отрезков:

Если три или более прямых,лежащих в разных плоскостях, попарно

пересекаются, то они имеют одну общую точку.

Следовательно, данные нам отрезки пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.

Объяснение:

Дан правильный тетраэдр EPGS, у которого EF = 12.

Точки L и N лежат на ребрах SG и SE соответственно, причем SL = 3, SN = 3. Точка Т - середина ребра SF.

Найдите:

а) точку Y1 пересечения прямой TL и плоскости EFG;

б) точку Y2 пересечения прямой TN и плоскости EFG;

в) длину отрезка Y1Y2;

г) точку пересечения прямой TN и плоскости ELF;

д) прямую пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE;

е) отношение, в котором плоскость LY1Y2 делит отрезок SE, считая от точки S.

Определение: Тетраэдр называется правильным, если все его грани - равносторонние треугольники.

а) точка Y1 должна лежать на линии  пересечения плоскостей GSF и EFG, так как прямая TL лежит в плоскости GSF. Для ее нахождения продлим прямую TL за точку Т до пересечения с продолжением прямой GE (линии пересечения плоскостей GSF и EFG.

б) точка Y2 должна лежать на линии  пересечения плоскостей ЕSF и EFG, так как прямая TN лежит в плоскости ESF. Для ее нахождения продлим прямую TN за точку Т до пересечения с продолжением прямой EF (линии пересечения плоскостей ESF и EFG.

в)  Проведем в грани GSF прямую LH параллельно ребру SF.  Треугольник GLH подобен треугольнику GSF, следовательно он правильный и LH = GL = 9 ед. Треугольники LHY1 и TFY1 также подобны с коэффициентом подобия k = TF/LH = 6/9 = 2/3. Тогда FY1/HY1 = 2/3 => FY1/(FY1+HF) = 2/3.  HF = 3 (HF=SL, так как LH║SF)  =>  FY1 = 6 ед.

Аналогично и для грани ESF => FY2 = 6 ед.

Треугольник Y1FY2 равнобедренный с углом при вершине F равным 60° (он вертикальный с углом EFG правильного треугольника EFG). Следовательно, это правильный треугольник и его сторона

Y1Y2 = Y1F = Y2F = 6 ед.

г) точка пересечения прямой TN и плоскости ELF - это точка Y2, так как плоскости ELF и ESF пересекаются по прямой EF, следовательно, прямая TN, лежащая в плоскости ESF, пересечет плоскость ELF в точке Y2 на линии пересечения этих плоскостей.

д) прямая пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE - это прямая TY2 (NY2), так как точки Т и Y2 принадлежaт плоскости NFE (SEF) и плоскости LY1Y2.

е) точка N принадлежит плоскости LY1Y2, так как эта плоскость определяется как единственная пересекающимися прямыми LY1 и NY2.  SN = 3, а SE = 12(дано), значит NE = 12 -3 =9). Следовательно, плоскость LY1Y2 делит отрезок SE в отношении SN/NE = 1:3, считая от точки S.

P.S. Пункт в) можно решить по теореме Менелая.

Для треугольника GSF и секущей LY1 имеем:

(GL/LS)*(ST/TF)*(FY1/Y1G) = 1. Подставим известные значения:

(9/3)*(6/6)*(FY1/Y1G) = 1  => FY1/Y1G = 1/3. Или

FY1/(12+FY1) = 1/3. => FY1 = 6 ед.

Аналогично для треугольника ESF и секущей NY2 получаем

FY2 = 6 ед.