Дано: А(- 3; 9; 6), В(-4; - 8; 2), С(6; 0; 4).
Найти: а) координаты вектора АС;
б) длину вектора ВС;
в) координаты середины отрезка АВ.

треуг.АВС, где угол C=90 град., и выс. CD делит его на 2 прямоуг.тр-ка.
.треуг. CDB (угол D=90 град.), катет CD=12, гипот. CВ=20, по теореме Пиф. 20^2=12^2+DB^2
Т.О., стор. DB=16
рассм.2треуг., получившийся при делении большого треуг.высотой:
CDA, где угол D =90 град.
Катет CD=12, катет DA=X, гипот. AC=Y
По.теор. Пифагора получаем:
Y^2=12^2+X^2 
Теперь рассм.Исходный треуг.АВС
Катет АВ=20, катет АС=Y., гипот. СВ=X+16
По теоре.Пиф. получаем:
20^2+Y^2=(X+16)^2 => Y^2=X^2+32X+256-400 => Y^2=X^2+32X-144
подставляем в  уравнение Y^2=12^2+X^2  выраженное значение Y, получаем:
X^2+32X-144=12^2+X^2
32X=288  X=9
Т.О., гипот. ВС=16+9=25
Катет АС=15

О1М и О2Д - радиусы равных окружностей. следовательно, они равны. 
Опустив перпендикуляры Ма из М и  Дн из Д на прямую О1О2, получим равные между собой отрезки,  они равны е также высоте четырехугольника О1О2ДМ. Прямоугольные треугольники О1аМ и О2нД равны по гипотенузе и катету, и их основания лежат на одной прямой.
Сдвигая окружность О1 по прямой О1О2,  получим совмещение  О1 и О2, т.к.
МД || О1О2,
Совпадут и перпендикулярные отрезки между прямыми,  опущенные из точек пересечения радиусов с окружностью. 
Расстояние между их вершинами М и Д,  О1 и О2 равны.
Следовательно, МД=О1О2. 
Четырехугольник, в котором стороны попарно равны и параллельны, - параллелограмм
Четырехугольник О1МДО2 является параллелограммом, что и требовалось доказать.