Если периметр квадрата равен 24, легко найти длину одной стороны по формуле Р(кв.) = 4а, то есть 24 = 4а, получаем, что а = 6. Тогда можем воспользоваться теоремой Пифагора (т.к. у квадрата все углы прямые) и рассчитать длину диагонали как гипотенузу в прямоугольном ∆. Тогда получим, что х² = 6² + 6² = 2*36 = 72, а х = √72, то есть х = √(3² * 2² * 2) = 6√2. Мы берем только положительное значение, потому что арифметический квадратный корень ≥ 0, а длина строго больше 0. ответ: длина диагонали равна 6√2.
Итак, пусть будет вписан шестиугольник ABCDEF (см. приложение). Количество вершин многоугольника не влияет на решение)) Проведем радиусы OA и OB. Они будут равными как радиусы одной окружности. Проведем высоту OH, которая будет являться одновременно радиусом вписанной окружности и равна 3 по условию. Так как треугольник равнобедренный, то OH будет также являться медианой. Так как, AB - сторона многоугольника и основание треугольника AOB, равная 6√3, а OH - медиана, то AH = (6√3)÷2 = 3√3. Так как треугольник AOH - прямоугольник, а OA - гипотенуза, то воспользуемся т. Пифагора: OA = √((3√3)²+3²) = √36 = 6. Значит, радиус OA описанной окружности равен 6.
Проведем радиусы OA и OB. Они будут равными как радиусы одной окружности. Проведем высоту OH, которая будет являться одновременно радиусом вписанной окружности и равна 3 по условию. Так как треугольник равнобедренный, то OH будет также являться медианой. Так как, AB - сторона многоугольника и основание треугольника AOB, равная 6√3, а OH - медиана, то AH = (6√3)÷2 = 3√3. Так как треугольник AOH - прямоугольник, а OA - гипотенуза, то воспользуемся т. Пифагора: OA = √((3√3)²+3²) = √36 = 6. Значит, радиус OA описанной окружности равен 6.