1)Из центра O окружности, вписанной в трапецию, восстановлен перпендикуляр OM к плоскости трапеции. Найдите радиус окружности, если расстояния от точки M до одной из сторон трапеции и до ее плоскости равны 3 см и 3,4 см.
Сделаем рис.№1. Обозначим расстояние от М до стороны трапеции МН.
Расстояние между точкой и плоскостью измеряется длиной отрезка, перпендикулярного плоскости.
Следовательно, ОМ=3 cм, а расстояние МН от М до стороны трапеции=3,4 cм, так как перпендикуляр всегда короче наклонной, а МН - наклонная, проведенная перпендикулярно стороне трапеции. Любой стороне. Ее проекция ОН также будет перпендикулярной этой стороне ( теорема о трех перпендикулярах).
Причем это относится к любой стороне трапеции - перпендикуляр из О к стороне трапеции пересекает ее в точке касания окружности и стороны, являющейся в данном случае касательной к окружности.
Этот перпендикуляр - проекция расстояния от М до стороны - и будет радиусом вписанной окружности. Найдем его по т. Пифагора: ОН= √(МН²-ОМ²)=1,6 см ответ: Радиус окружности равен 1,6 см
2) Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, проекции которых равны 4 и 11 см. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные относятся как 2:5
Сделаем рисунок №2,
обозначим вершины получившейся фигуры привычными А, В, С. Рассмотрим треугольник АВС, который образован наклонными АВ и ВС и их проекциями АН и НС. Высота ВН- искомый перпендикуляр- может быть найдена из треугольников АВН и ВСН. Выразим ее значение из этих треугольников по т.Пифагора. ВН²=АВ²-АН² ВН²=ВС²-НС² Приравняем эти значения: АВ²-АН²=ВС²-НС² Пусть коэффициент отношения наклонных равен х. Тогда 4х²-16=25х²-121 21х²=105 х²=5
Пусть х сантиметров - высота прямоугольника, тогда его основание равно (х + 10) см площадь этого прямоугольника равна х(х + 10) см². По условию задачи х(х + 10) = 24.
Раскрывая скобки и перенося число 24 с противоположным знаком в левую часть уравнения, получаем:
х² + 10х - 24 = 0
Разложить левую часть уравнения на множители группировки:
1)Из центра O окружности, вписанной в трапецию, восстановлен перпендикуляр OM к плоскости трапеции.
Найдите радиус окружности, если расстояния от точки M до одной из сторон трапеции и до ее плоскости равны 3 см и 3,4 см.
Сделаем рис.№1. Обозначим расстояние от М до стороны трапеции МН.
Расстояние между точкой и плоскостью измеряется длиной отрезка, перпендикулярного плоскости.
Следовательно, ОМ=3 cм, а расстояние МН от М до стороны трапеции=3,4 cм, так как перпендикуляр всегда короче наклонной, а МН - наклонная, проведенная перпендикулярно стороне трапеции. Любой стороне.
Ее проекция ОН также будет перпендикулярной этой стороне ( теорема о трех перпендикулярах).
Причем это относится к любой стороне трапеции - перпендикуляр из О к стороне трапеции пересекает ее в точке касания окружности и стороны, являющейся в данном случае касательной к окружности.
Этот перпендикуляр - проекция расстояния от М до стороны - и будет радиусом вписанной окружности. Найдем его по т. Пифагора:
ОН= √(МН²-ОМ²)=1,6 см
ответ: Радиус окружности равен 1,6 см
2) Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, проекции которых равны 4 и 11 см.
Найдите длину перпендикуляра, если наклонные относятся как 2:5
Сделаем рисунок №2,
обозначим вершины получившейся фигуры привычными А, В, С.
Рассмотрим треугольник АВС, который образован наклонными АВ и ВС и их проекциями АН и НС.
Высота ВН- искомый перпендикуляр- может быть найдена из треугольников АВН и ВСН.
Выразим ее значение из этих треугольников по т.Пифагора.
ВН²=АВ²-АН²
ВН²=ВС²-НС²
Приравняем эти значения:
АВ²-АН²=ВС²-НС²
Пусть коэффициент отношения наклонных равен х. Тогда
4х²-16=25х²-121
21х²=105
х²=5
х=√5
ВН²=АВ²-АН²
ВН²=20-16=4
ВН= √4=2 см
ответ: Длина перпендикуляра - 2 см
Пусть х сантиметров - высота прямоугольника, тогда его основание равно (х + 10) см площадь этого прямоугольника равна х(х + 10) см². По условию задачи х(х + 10) = 24.
Раскрывая скобки и перенося число 24 с противоположным знаком в левую часть уравнения, получаем:
х² + 10х - 24 = 0
Разложить левую часть уравнения на множители группировки:
х² + 10х - 24
х² + 12х - 2х - 24
х(х + 12) - 2(х+12)
(х + 12)(х - 2)
Следовательно, уравнение можно записать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Получили: х¹ = -12; х² = 2
Дина отрезка не может быть отрицательным числом
ответ: Искомая высота прямоугольника 2 см