Дано: AD перпендикулярно AC, AC перпендикулярно AB, BD перпендикулярно CB. Докажите, что BD перпендикулярно пл(ABC).

ΔАВС- равнобедренный.Пусть  АВ=ВС =а. ВЕ⊥ АС=10 см, DC⊥АВ=12 см. Найти R окр.,описанной около Δ СDB.
ΔCDB - прямоугольный. R=1/2·BC.(Радиус окружности ,описанной около прямоугольного треугольника = половине гипотенузы)
S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB·BC/AB·BC   ⇒  S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB/BC (1)
S(ΔDBC)=1/2 DB·DC=1/2·DB·12=6·DB                S(ΔDBC) = 6·DB
S(ΔABC)=1/2 AC·BE =1/2AC·10= 5·AC                 S(ΔABC)=5·AC
Получили,что S(ΔDBC)/ S(ΔABC) = 6·DB /5·AC  (2)
Следовательно, DB / BC = 6·DB / 5·AC      ⇒ 5AC=6BC  (3)
Из  Δ ВЕС  найдём  ЕС =х по т. Пифагора : ЕС²=ВС²-ВЕ²
х²=а²-10² ⇒ х=√а²-100     АС=2х=2·√а²-100
Используем (3) равенство :  5 АС=6 ВС и  АС=2х   ⇒
5·2√а²-100 = 6а  ⇒  100·(а²-100)=36 а²  ⇒  64 а²=10000  
а²=10000 / 64   ⇒  а=100 / 8    R = 1/2 a   =  50/8 = 25 / 4

Пирамида правильная, значит в основании ее лежит квадрат, а вершина пирамиды проецируется в центр основания. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей основания и боковой поверхности. Площадь основания нашей пирамиды равна So = a². Площадь боковой поверхности равна сумме четырех боковых граней пирамиды, каждая из которых равна Sг = (1/2)*а*На, где "а" - сторона основания, а "На" - апофема (высота) грани.  Апофему грани найдем по Пифагору из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной стороны основания (катеты) и апофемой (гипотенуза). На = √(a²/4 + b²) = √(a²+4b²)/2.

Тогда площадь одной грани равна Sг = (a/2)*(√(a²+4b²)/2), площадь боковой поверхности пирамиды равна 4*Sг = а* √(a²+4b²).

Площадь полной поверхности пирамиды равна

S = a²+а* √(a²+4b²) = a(a+√(a²+4b²)).