Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
Высот в треугольнике всего три. И рассматривать придётся три варианта 1. Высота 4 из угла между сторонами 5 и 2 см Невозможно, т.к. 2 меньше 4 2. Высота к стороне 5 Снова невозможно 3. Высота к стороне 2. Вот такое может быть :) И снова два варианта - основание 2, высота 4, но сторона 5 может быть или длиннее или короче третьей стороны треугольника. красный вариант 4²+(2+x)² = 5² (2+x)² = 25-16 = 9 2+x = 3 x = 1 И через площадь найдём высоту S = 1/2*2*4 = 1/2*5*h h = 8/5 см Синий вариант x = √(5²-4²) = √(25-16) = √9 = 3 y = √(4²+(2+x)²) = √(4²+(2+3)²) = √(16+25) = √41 И через площадь найдём высоту S = 1/2*2*4 = 1/2*√41*h h = 8/√41 см
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
1. Высота 4 из угла между сторонами 5 и 2 см
Невозможно, т.к. 2 меньше 4
2. Высота к стороне 5
Снова невозможно
3. Высота к стороне 2.
Вот такое может быть :)
И снова два варианта - основание 2, высота 4, но сторона 5 может быть или длиннее или короче третьей стороны треугольника.
красный вариант
4²+(2+x)² = 5²
(2+x)² = 25-16 = 9
2+x = 3
x = 1
И через площадь найдём высоту
S = 1/2*2*4 = 1/2*5*h
h = 8/5 см
Синий вариант
x = √(5²-4²) = √(25-16) = √9 = 3
y = √(4²+(2+x)²) = √(4²+(2+3)²) = √(16+25) = √41
И через площадь найдём высоту
S = 1/2*2*4 = 1/2*√41*h
h = 8/√41 см