Для наглядности "уложим" призму на боковую сторону (см. рис. 1) Диагональ В₁D образует с плоскостью DCC₁D₁ угол 30°. В₁С₁=ВС=а В₁D=В₁С₁: sin(30 °)=2а
Перейдем к рис. 2. В₁DВ - угол, образованный диагональю призмы с плоскостью основания. Стороны угла - диагональ призмы ( она, мы выяснили, равна 2а) и диагональ основания. Диагональ основания равна, как любая диагональ квадрата, его стороне, умноженной на корень из двух, т.е. а√2 Косинус угла В₁D₁В равен BD:B₁D=(а√2):2а=√2/2 Это косинус угла 45°. Так как острый угол прямоугольного треугольника равен 45°, треугольник DВВ₁ равнобедренный. Отсюда следует равенство высоты призмы и диагонали ее основания. Высота призмы равна а√2
две другие стороны (не содержащие данную вершину) будут данной вершине противоположными...
т.е. из каждой вершины провели еще два луча...
если рассмотреть треугольники, на которые разобьется квадрат, то станет очевидно, что получившийся восьмиугольник будет правильным (равносторонним)
и сторона 8-угольника (обозначим х) будет основанием равнобедренного треугольника с углом при вершине 45 градусов и боковыми сторонами, равными а/4 (а ---сторона квадрата)
=> по определению синуса sin(45/2) = (x/2) / (a/4) = 2x / a
Без рисунка не обойтись.
Для наглядности "уложим" призму на боковую сторону (см. рис. 1)
Диагональ В₁D образует с плоскостью DCC₁D₁ угол 30°.
В₁С₁=ВС=а
В₁D=В₁С₁: sin(30 °)=2а
Перейдем к рис. 2.
В₁DВ - угол, образованный диагональю призмы с плоскостью основания.
Стороны угла - диагональ призмы ( она, мы выяснили, равна 2а) и диагональ основания.
Диагональ основания равна, как любая диагональ квадрата, его стороне, умноженной на корень из двух, т.е. а√2
Косинус угла В₁D₁В равен
BD:B₁D=(а√2):2а=√2/2
Это косинус угла 45°.
Так как острый угол прямоугольного треугольника равен 45°, треугольник DВВ₁ равнобедренный.
Отсюда следует равенство высоты призмы и диагонали ее основания.
Высота призмы равна а√2
из каждой вершины квадрата выходят две стороны
две другие стороны (не содержащие данную вершину) будут данной вершине противоположными...
т.е. из каждой вершины провели еще два луча...
если рассмотреть треугольники, на которые разобьется квадрат, то станет очевидно, что получившийся восьмиугольник будет правильным (равносторонним)
и сторона 8-угольника (обозначим х) будет основанием равнобедренного треугольника с углом при вершине 45 градусов и боковыми сторонами, равными а/4 (а ---сторона квадрата)
=> по определению синуса sin(45/2) = (x/2) / (a/4) = 2x / a
x = a*sin(45/2) / 2
P = 8x = 4a*sin(45/2)
sin(45/2) = корень(2-корень(2))/2
Р = 2а*корень(2 - корень(2))
кажется так...