Первый Пусть M — точка внутри параллелограмма ABCD, P и Q — её проекции на прямые BC и AD. Тогда S(MBC) + S(AMD) = BC . MP + AD . MQ = = AD . (MP + MQ) = AD . PQ, причём PQ — высота параллелограмма ABCD. Поэтому найденная сумма равна половине площади параллелограмма. Второй Через точку M, взятую внутри параллелограмма ABCD, проведём прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые разбивают параллелограмм на четыре меньших параллеллограмма. Диагонали AM, BM, CM и DM разбивают каждый из этих четырёх параллелограммов на два равных треугольника. Отсюда следует утверждение задачи.
Решение задачи начинаем с рисунка. Постараемся сделать его по возможности соразмерным данным задачи.
АС=3 АВ АМ=МС - так как медиана ВМ делит АС пополам, ∠ВАР=∠РАС, так как АВ биссектриса и делит угол А пополам. ( В решении равенство углов не пригодится). Для того, чтобы проще было следить за решением, обозначим площадь ᐃ АВС=S
Площади треугольников с равной высотой и равными основаниями равны. Так как АМ=МС, а высота у них одна и та же,
площадь ᐃ АВМ=площади ᐃ МВС=0,5 S
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
Следовательно, ВР:РС=АВ:АС=1:3
Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).
Площади Δ ВАР и Δ РАС, имеющих общую высоту, относятся как 1:3 Площадь АВС=S =4 площади треугольника ВАР.
Площадь Δ ВАР=1/4S=0,25 S ⇒ площадь Δ РАС =S- 0,25 S = 0, 75 S
Отсюда ВК:КМ=АВ:1,5 АВ (смотри свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника) ВК:КМ=1:1,5
Площадь Δ АВМ= 0,5 S 0,5 S= площадь треугольника МАК+КАВ=2,5 площ Δ КАВ Площадь Δ BАК=0,5 S:2,5= 0,2 S Площадь Δ МАК=1,5 площ. КАВ =0,2*1,5= 0,3 S Площ. МКРС=пл РАС - пл МАК
Площ. МКРС=0,75 S - 0,3 S= 0,45 S Площадь Δ МАК : площ. МКРС=0,3 S : 0,45 S= 10/15=2/3
Пусть M — точка внутри параллелограмма ABCD, P и Q — её проекции на прямые BC и AD. Тогда
S(MBC) + S(AMD) = BC . MP + AD . MQ =
= AD . (MP + MQ) = AD . PQ,
причём PQ — высота параллелограмма ABCD. Поэтому найденная сумма равна половине площади параллелограмма.
Второй
Через точку M, взятую внутри параллелограмма ABCD, проведём прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые разбивают параллелограмм на четыре меньших параллеллограмма. Диагонали AM, BM, CM и DM разбивают каждый из этих четырёх параллелограммов на два равных треугольника. Отсюда следует утверждение задачи.
Решение задачи начинаем с рисунка.
Постараемся сделать его по возможности соразмерным данным задачи.
АС=3 АВ
АМ=МС - так как медиана ВМ делит АС пополам,
∠ВАР=∠РАС, так как АВ биссектриса и делит угол А пополам. ( В решении равенство углов не пригодится).
Для того, чтобы проще было следить за решением, обозначим площадь ᐃ АВС=S
Площади треугольников с равной высотой и равными основаниями равны.
Так как АМ=МС, а высота у них одна и та же,
площадь ᐃ АВМ=площади ᐃ МВС=0,5 S
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную
сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
Следовательно, ВР:РС=АВ:АС=1:3
Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).
Площади Δ ВАР и Δ РАС, имеющих общую высоту, относятся как 1:3
Площадь АВС=S =4 площади треугольника ВАР.
Площадь Δ ВАР=1/4S=0,25 S
⇒ площадь Δ РАС =S- 0,25 S = 0, 75 S
Рассмотрим треугольник АВМ.
АК- биссектриса угла АВМ
АМ=АС:2=3 АВ:2=1,5 АВ
Отсюда ВК:КМ=АВ:1,5 АВ (смотри свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника)
ВК:КМ=1:1,5
Площадь Δ АВМ= 0,5 S
0,5 S= площадь треугольника МАК+КАВ=2,5 площ Δ КАВ
Площадь Δ BАК=0,5 S:2,5= 0,2 S
Площадь Δ МАК=1,5 площ. КАВ =0,2*1,5= 0,3 S
Площ. МКРС=пл РАС - пл МАК
Площ. МКРС=0,75 S - 0,3 S= 0,45 S
Площадь Δ МАК : площ. МКРС=0,3 S : 0,45 S= 10/15=2/3