1. Т.к один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, то другой острый угол равен 30°.
Мы помним, что ".. напротив меньшего угла меньшая сторона." => меньшая сторона (катет) находится напротив угла в 30°. Мы помним, что "катет напротив 30° равен половине гипотинузы..". Значит этот катет равен половине гипотинузы, но мы знаем что *гипотинуза* + *меньший катет* = 18 и как же нам быть?
Из выше написанного мной, мы понимаем, что в соотношении *гипотинуза* равна 2-м катетам (меньшим катетам) => 2*меньших катета* + *меньший катет* = 18
а) Треугольники АНС и ВНС прямоугольные, поэтому MH=0,5*АС=СМ и NH=0,5*CB=CN. Значит, треугольники MCN и MHN равны по трём сторонам, откуда <MHN = <MCN = 90 градусов.
б) В прямоугольном треугольнике АВС имеем: CH=√АН*ВН=√2592.
В прямоугольных треугольниках МНР и MCQ с общим углом CMH получаем:
МН/МР=МС/МQ=сos<СМН,
поэтому треугольники МНС и MРQ подобны с коэффициентом подобия сos<СМН.
Площадь S треугольника МНС равна половине площади треугольника АНС, то есть S=(АН*СН)/4=72*√2592/4=18*√2592=648*√2
1. Т.к один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, то другой острый угол равен 30°.
Мы помним, что ".. напротив меньшего угла меньшая сторона." => меньшая сторона (катет) находится напротив угла в 30°. Мы помним, что "катет напротив 30° равен половине гипотинузы..". Значит этот катет равен половине гипотинузы, но мы знаем что *гипотинуза* + *меньший катет* = 18 и как же нам быть?
Из выше написанного мной, мы понимаем, что в соотношении *гипотинуза* равна 2-м катетам (меньшим катетам) => 2*меньших катета* + *меньший катет* = 18
3*меньших катета* = 18
*меньший катет*= 18:3=6
=> гипотинуза равна 2*6=12
*Меньший катет* = 6
*Меньший катет* = 6*гипотинуза* = 12
2. доказ-во:
< ACM = KCM (т.к CM - биссектриса <BCD)
рассм ∆CAM и ∆CKM - прямоугольные
∆СAM=∆CKM по общей гипотинузе и острому углу
=> MA=MK
ЧТД
б) В прямоугольном треугольнике АВС имеем: CH=√АН*ВН=√2592.
В прямоугольных треугольниках МНР и MCQ с общим углом CMH получаем:
МН/МР=МС/МQ=сos<СМН,
поэтому треугольники МНС и MРQ подобны с коэффициентом подобия сos<СМН.
Площадь S треугольника МНС равна половине площади треугольника АНС, то есть S=(АН*СН)/4=72*√2592/4=18*√2592=648*√2
Найдём сos<СМН:
сos<СМН=сos(2<САН)=2cos^2<САН-1=2AH^2/АС^2-1=2AH^2/(АН^2+CH^2)-1=0,33.
Значит, площадь треугольника MPQ равна S/сos^2<СМН=5832√2
Ответ: б) 5832√2.