Обозначим О центр вписанной в треугольник окружности. Проведем из него радиусы в точки касания (вписанной окружностью) М - со стороной АВ, Р - со стороной ВС и - точно такой же радиус в точку касания с KL - пусть это точка N.
Теперь - веселый трюк :)))
Поскольку четырехугольник AKLC - вписанный, то сумма углов AKL и АСВ равна 180 градусов. Равссмотрим теперь четырехугольник MKNO. В нем 2 угла прямые :), поэтому сумма углов MON и AKL тоже 180 градусов. Поэтому угол MON равен углу АСВ :).
Но это - еще не всё :)
четырехугольник KMON очевидно симметричен относительно КО. Поэтому угол КОN равен С/2 (С - угол АВС). Отсюда KN = r*tg(C/2); r - вписанной окружности :)
Совершенно так же показывается, что угол LON равен А/2, где А - угол ВАС, и NL = r*tg(A/2);
Таким образом, KL = r*(tg(C/2) + tg(A/2)),
где А и С, а также r - это углы и радиус вписанной окружности в треугольнике АВС, у которого известны все стороны (7,9,10) :))) остается просто вычислить эти величины :))
Но есть еще один - не слишком важный, но приятный - трюк:)) Дело в том, что АС = r*(1/tg(C/2) + 1/tg(A/2)) = KL/(tg(A/2)*tg(C/2); Поэтому
KL = AC*tg(A/2)*tg(C/2); так проще считать :))
Ну, меленькая пауза на расчеты (красоты наверняка закончились).
Воспользуемся формулой tg(A/2) = корень((1-cosA)/(1+cosA)) и вычислим cosA из теоремы косинусов - напротив угла А лежит сторона ВС = 9, имеем
KL = 10*корень(9/26)*корень(6/39) = 30/13; надо же, корни все пропали :)))
А пропали они - потому что надо сначала умом работать, а потом другими частями тела. Продолжив игру с углами, можно легко обнаружить, что угол BLK = A, а угол BKL = C. В самом деле, мы уже показали, что (из-за того, что АСKL - вписанный четырехугольник) угол KLC + угол ВАС = 180 градусов, но угол BLK + угол KLC = 180 градусов, поэтому угол BLK = угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС. (По-моему тут решение получить можно проще.)
Для начала вычислим BM = BP = x; АМ = АК = y; CK = CP = z -отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.
x + y = 7;
y + z = 10;
x + z = 9;
y - x = 1; 2*y = 8; y = 4; x = 3; z = 6; нам понадобится x.
Опять веселые трюки :))
Периметр треугольника BKL равен 2*x = 6;
(а вот сами докажите :) ну, ладно, подскажу - KM = KN и NL = LP, поэтому BK + KL + BL = BK + KN + NL + BL = MB + BP = 2*x)
Из того, что BKL подобен АВС, следует, что BL = KL*7/10; BK = KL*9/10, периметр равен KL*26/10; Поэтому
Ясно, что АЕ = 2, ЕА1 = 3. Линия пересечения АВС и ВЕD1 строится так. Продлевается АD за точку А до пересечения М с продолжением D1E. Через точку М и точку В в плоскости АВСD проводится прямая до пересечения с продолжением DC, это точка F. F и D1 соединяются в плоскости DCC1D1. Точка пересечения D1F c С1С - точка К соединяется с В. Четырехугольник ВЕD1K - сечение, прямая МF - линия пересечения АВС и ВЕD1.
Тр-ки А1ЕD1 и МЕА подобны, откуда МА = 2. Треугольники ВСF и МАВ подобны, поэтому FC = 9/2 (я проставил все размеры на чертеже, в том числе и вычисляемые). Получился треугольник DMF со сторонами MD = 5, DF = 15/2 = 7,5;
Очевидно, что если из вершины прямого угла этого треугольника провести перпендикуляр на MF и соединить его основание с D1, то получится искомый линейный угол двугранного угла (обозначим Ф). Поэтому нам надо определить в треугольнике DMF высоту к гипотенузе MF (обозначим h), тогда тангенс угла Ф будет равен DD1 = 5, деленному на эту высоту.
MFD - прямоугольный треугольник с катетами 5 и 7,5,
Обозначим О центр вписанной в треугольник окружности. Проведем из него радиусы в точки касания (вписанной окружностью) М - со стороной АВ, Р - со стороной ВС и - точно такой же радиус в точку касания с KL - пусть это точка N.
Теперь - веселый трюк :)))
Поскольку четырехугольник AKLC - вписанный, то сумма углов AKL и АСВ равна 180 градусов. Равссмотрим теперь четырехугольник MKNO. В нем 2 угла прямые :), поэтому сумма углов MON и AKL тоже 180 градусов. Поэтому угол MON равен углу АСВ :).
Но это - еще не всё :)
четырехугольник KMON очевидно симметричен относительно КО. Поэтому угол КОN равен С/2 (С - угол АВС). Отсюда KN = r*tg(C/2); r - вписанной окружности :)
Совершенно так же показывается, что угол LON равен А/2, где А - угол ВАС, и NL = r*tg(A/2);
Таким образом, KL = r*(tg(C/2) + tg(A/2)),
где А и С, а также r - это углы и радиус вписанной окружности в треугольнике АВС, у которого известны все стороны (7,9,10) :))) остается просто вычислить эти величины :))
Но есть еще один - не слишком важный, но приятный - трюк:)) Дело в том, что АС = r*(1/tg(C/2) + 1/tg(A/2)) = KL/(tg(A/2)*tg(C/2); Поэтому
KL = AC*tg(A/2)*tg(C/2); так проще считать :))
Ну, меленькая пауза на расчеты (красоты наверняка закончились).
Воспользуемся формулой tg(A/2) = корень((1-cosA)/(1+cosA)) и вычислим cosA из теоремы косинусов - напротив угла А лежит сторона ВС = 9, имеем
9^2 = 10^2 + 7^2 - 2*10*7*cosA; cosA = (10^2 + 7^2 - 9^2)/(2*7*10);
(1-cosA)/(1+cosA) = (2*7*10 - (10^2 + 7^2 - 9^2))/(2*7*10 + (10^2 + 7^2 - 9^2)) = 9/26;
tg(A/2) = корень(9/26);
Аналогично для угла С tg(С/2) = корень((1-cosС)/(1+cosС));
7^2 = 10^2 + 9^2 - 2*9*10*cosC; cosC = (10^2 - 7^2 + 9^2)/(2*9*10);
(1-cosC)/(1+cosC) = (2*9*10 - (10^2 - 7^2 + 9^2))/(2*9*10 + (10^2 - 7^2 + 9^2)) = 6/39;
tg(С/2) = корень(6/39);
KL = 10*корень(9/26)*корень(6/39) = 30/13; надо же, корни все пропали :)))
А пропали они - потому что надо сначала умом работать, а потом другими частями тела. Продолжив игру с углами, можно легко обнаружить, что угол BLK = A, а угол BKL = C. В самом деле, мы уже показали, что (из-за того, что АСKL - вписанный четырехугольник) угол KLC + угол ВАС = 180 градусов, но угол BLK + угол KLC = 180 градусов, поэтому угол BLK = угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС. (По-моему тут решение получить можно проще.)
Для начала вычислим BM = BP = x; АМ = АК = y; CK = CP = z -отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.
x + y = 7;
y + z = 10;
x + z = 9;
y - x = 1; 2*y = 8; y = 4; x = 3; z = 6; нам понадобится x.
Опять веселые трюки :))
Периметр треугольника BKL равен 2*x = 6;
(а вот сами докажите :) ну, ладно, подскажу - KM = KN и NL = LP, поэтому BK + KL + BL = BK + KN + NL + BL = MB + BP = 2*x)
Из того, что BKL подобен АВС, следует, что BL = KL*7/10; BK = KL*9/10, периметр равен KL*26/10; Поэтому
KL*26/10 = 6; KL = 30/13; :
Ясно, что АЕ = 2, ЕА1 = 3. Линия пересечения АВС и ВЕD1 строится так. Продлевается АD за точку А до пересечения М с продолжением D1E. Через точку М и точку В в плоскости АВСD проводится прямая до пересечения с продолжением DC, это точка F. F и D1 соединяются в плоскости DCC1D1. Точка пересечения D1F c С1С - точка К соединяется с В. Четырехугольник ВЕD1K - сечение, прямая МF - линия пересечения АВС и ВЕD1.
Тр-ки А1ЕD1 и МЕА подобны, откуда МА = 2. Треугольники ВСF и МАВ подобны, поэтому FC = 9/2 (я проставил все размеры на чертеже, в том числе и вычисляемые). Получился треугольник DMF со сторонами MD = 5, DF = 15/2 = 7,5;
Очевидно, что если из вершины прямого угла этого треугольника провести перпендикуляр на MF и соединить его основание с D1, то получится искомый линейный угол двугранного угла (обозначим Ф). Поэтому нам надо определить в треугольнике DMF высоту к гипотенузе MF (обозначим h), тогда тангенс угла Ф будет равен DD1 = 5, деленному на эту высоту.
MFD - прямоугольный треугольник с катетами 5 и 7,5,
гипотенуза равна с = 5*корень(13);
высота h = 5*7,5/с;
tg(Ф) = 5/h = c/7,5 = 2*корень(13)/3;