Координаты точки С(0;y;0). (так как эта точка лежит на оси 0Y (дано). |AC|=√(1+(y+2)²+1)=√(2+y²+4y+4)=√(y²+4y+6). |CB|=√(9+(y-2)²+9)=√(18+y²-4y+4)=√(y²-4y+22). АС=СВ (дано), значит и АС²=СВ². Тогда y²+4y+6=y²-4y+22, 8y=16, y=2. Итак, точка С имеет координаты С(0;2;0). Пусть середина отрезка АВ - точка Н, тогда отрезок СН - высота равнобедренного треугольника АВС. Имеем: Н(2;0;-1) и |CH|=√(2²+(-2)²+(-1)²)=√(4+4+1)=√9 = 3. Половина основания: |АH|=√(1²+2²+(-2)²)=√(4+4+1)=√9 = 3. Тогда площадь треугольника АВС равна |CH|*|AH|=3*3=9. ответ: Sabc=9 ед².
Второй вариант: Мы видим после нахождения координат точки С(0;4;0), что вектора АС{-1;4;-1} и СВ{3;0;-3} перпендикулярны друг другу, так как их скалярное произведение равно 0: Xac*Xcb+Yac*Ycb+Zac*Zcb = -3+0+3=0. Тогда треугольник АВС прямоугольный с <C=90°и его площадь равна полупроизведению катетов: |AC|=√(1+16+1)=3√2 и |CB|=√(9+0+9)=3√2. Sabc=(1/2)*3√2*3√2=9 ед²
Треугольник АВС, АВ=ВС, О-центр окружности, ВО=20, проводим перпендикуляр из точки О на АС=медиане=биссектрисе=радиусу, длина окружности=2*пи*радиус, 24пи=2*пи*радиус, радиус=12, проводим АО и СО - биссектрисы углов А и С соответственно, центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, , т.к ВО тоже биссектриса, АО=ВО=СО=20, треугольникАОС равнобедренный, АН=СН=корень(АО в квадрате-ОН в квадрате)=корень(400-144)=16, АС=2*АН=2*16=32, треугольник АВН, ВН=ВО+ОН=20+12=32, АВ=ВС=корень(АН в квадрате+ВН в квадрате)=корень(256+1024)=16*корень5, периметр=16*корень5+16*корень5+32=32*корень5+32
|AC|=√(1+(y+2)²+1)=√(2+y²+4y+4)=√(y²+4y+6).
|CB|=√(9+(y-2)²+9)=√(18+y²-4y+4)=√(y²-4y+22).
АС=СВ (дано), значит и АС²=СВ². Тогда
y²+4y+6=y²-4y+22,
8y=16,
y=2. Итак, точка С имеет координаты С(0;2;0).
Пусть середина отрезка АВ - точка Н, тогда отрезок СН - высота равнобедренного треугольника АВС.
Имеем: Н(2;0;-1) и |CH|=√(2²+(-2)²+(-1)²)=√(4+4+1)=√9 = 3.
Половина основания: |АH|=√(1²+2²+(-2)²)=√(4+4+1)=√9 = 3.
Тогда площадь треугольника АВС равна
|CH|*|AH|=3*3=9.
ответ: Sabc=9 ед².
Второй вариант:
Мы видим после нахождения координат точки С(0;4;0), что вектора
АС{-1;4;-1} и СВ{3;0;-3} перпендикулярны друг другу, так как их скалярное произведение равно 0: Xac*Xcb+Yac*Ycb+Zac*Zcb = -3+0+3=0.
Тогда треугольник АВС прямоугольный с <C=90°и его площадь равна полупроизведению катетов: |AC|=√(1+16+1)=3√2 и |CB|=√(9+0+9)=3√2.
Sabc=(1/2)*3√2*3√2=9 ед²