Для вычислений нужно провести сечение сферы плоскостью, проходящей через точки A, B и O. В сечении получится окружность с центром в точке О и радиусом R, равным радиусу сферы. ΔAOB образован хордой АВ и двумя радиусами сферы, ⇒ ΔAOB - равнобедренный ⇒ AC - высота и медиана
а) R = OA = 17 см; AB = 16 см AC = 1/2 AB = 1/2 * 16 = 8 см Расстояние от точки О до прямой АВ измеряется по перпендикуляру ⇒ расстояние равно длине отрезка OC ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора OC² = R² - AC² = 17² - 8² = 225 = 15² OC = 15 см
б) AB = 12 см; OC = 8 см AC = 1/2 AB = 1/2 * 12 = 6 см ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора R² = AC² + OC² = 6² + 8² = 100 = 10² R = 10 см
в) d = 30 см; OC = 12 см R = d/2 = 30/2 = 15 см ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора AC² = R² - OC² = 15² - 12² = 81 = 9² AC = 9 см AB = 2*AC = 2*9 = 18 см
ответ: а) расстояние 15 см; б) радиус сферы 10 см; в) AB = 18 см
Условие задачи некорректно. Иногда задачи с таким условием составляются специально. Доказательство ниже.
———
ВВ1 перпендикулярен плоскости альфа, следовательно, этот отрезок перпендикулярен любой прямой, проходящей в этой плоскости через В1.
BD=6√2
∆ ВАD- прямоугольный равнобедренный. Его острые углы равны 45°⇒
AD=BD•sin45°=6
По условию AD лежит в плоскости α.
Поэтому по т. о 3-х перпендикулярах В1А⊥AD, C1D⊥DA, проекция квадрата ABCD на эту плоскость – прямоугольник АВ1С1D.
Угол В1АD- прямой.
Угол В1DА=60°(дано)
Проекция диагонали ВD на плоскость α – гипотенуза В1D
треугольника В1АD
B1D=AD:cos60°=6:1/2=12
———————
Мы получили проекцию наклонной ВD, которая имеет большую длину, чем сама наклонная. Т.е. в прямоугольном ∆ ВВ1D длина катета B1D больше длины гипотенузы BD, чего быть не может. Задача с таким же условием есть от 2015 г, и так именно задумана её составителями.
Но если величина угла В1DА равна 30°,то проекция ВD на плоскост α равна AD:cos30°=4√3.
Или угол В1DB=60° -тоже получится допустимый результат.
ΔAOB образован хордой АВ и двумя радиусами сферы, ⇒
ΔAOB - равнобедренный ⇒ AC - высота и медиана
а) R = OA = 17 см; AB = 16 см
AC = 1/2 AB = 1/2 * 16 = 8 см
Расстояние от точки О до прямой АВ измеряется по перпендикуляру ⇒ расстояние равно длине отрезка OC
ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора
OC² = R² - AC² = 17² - 8² = 225 = 15²
OC = 15 см
б) AB = 12 см; OC = 8 см
AC = 1/2 AB = 1/2 * 12 = 6 см
ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора
R² = AC² + OC² = 6² + 8² = 100 = 10²
R = 10 см
в) d = 30 см; OC = 12 см
R = d/2 = 30/2 = 15 см
ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора
AC² = R² - OC² = 15² - 12² = 81 = 9²
AC = 9 см
AB = 2*AC = 2*9 = 18 см
ответ: а) расстояние 15 см; б) радиус сферы 10 см; в) AB = 18 см
Условие задачи некорректно. Иногда задачи с таким условием составляются специально. Доказательство ниже.
———
ВВ1 перпендикулярен плоскости альфа, следовательно, этот отрезок перпендикулярен любой прямой, проходящей в этой плоскости через В1.
BD=6√2
∆ ВАD- прямоугольный равнобедренный. Его острые углы равны 45°⇒
AD=BD•sin45°=6
По условию AD лежит в плоскости α.
Поэтому по т. о 3-х перпендикулярах В1А⊥AD, C1D⊥DA, проекция квадрата ABCD на эту плоскость – прямоугольник АВ1С1D.
Угол В1АD- прямой.
Угол В1DА=60°(дано)
Проекция диагонали ВD на плоскость α – гипотенуза В1D
треугольника В1АD
B1D=AD:cos60°=6:1/2=12
———————
Мы получили проекцию наклонной ВD, которая имеет большую длину, чем сама наклонная. Т.е. в прямоугольном ∆ ВВ1D длина катета B1D больше длины гипотенузы BD, чего быть не может. Задача с таким же условием есть от 2015 г, и так именно задумана её составителями.
Но если величина угла В1DА равна 30°,то проекция ВD на плоскост α равна AD:cos30°=4√3.
Или угол В1DB=60° -тоже получится допустимый результат.