Дано : уголABC и уголHKP,AB = HK,AC = HP,угол A = углу (?) Доказать : уголABC = угол (?)
Доказательство :
1)по условию теоремы уголA = углуH,поэтому треугольник ABC можно наложить на треугольник (?) так,что вершина A совместится с вершиной H,а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи HK и (?)
2) По условию AB= (?),AC = (?),следовательно,сторона AB совместится со стороной (?),а сторона AC - со стороной (?),в частности,совместятся точки B и (?),C и (?).Поэтому совместятся стороны (?) и (?).
3)Итак,треугольники ABC и HKP полностью совместятся,значит,они (?).
Теорема доказана.
Решение
Пусть ABCDA1B1C1D1 – данная призма, основания ABCD и A1B1C1D1 которой – ромбы со стороной 2, причём DAB = 30o и AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = 1 . Если DF – высота ромба ABCD , опущенная на сторону AB , то по теореме о трёх перпендикулярах D1F AB , поэтому DFD1 – линейный угол двугранного угла между плоскостями основания ABCD и диагонального сечения AD1C1B . Так как DF = AD sin 30o = 1 , то tg DFD1 = = 1 . Поэтому DFD1 = 45o < 60o . Значит, данная в условии секущая плоскость пересекает рёбра A1D1 и B1C1 . Обозначим через M и N соответствующие точки пересечения. Поскольку плоскости оснований параллелепипеда параллельны, а также параллельны плоскости противоположных боковых граней, то четырёхугольник AMNB – параллелограмм. Пусть MP – перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость основания ABCD . Поскольку плоскости AA1D1D и ABCD перпендикулярны, точка P лежит на их прямой пересечения AD . Если MQ – высота параллелограмма AMNB , опущенная на сторону AB , то по теореме о трёх перпендикулярах PQ AB , поэтому MQP – линейный угол двугранного угла между плоскостями AMNB и ABCD . По условию задачи MQP = 60o . Значит,
MQ = = = .
Следовательно,
SAMNB = AB· MQ = 2· = .
Объяснение: