Даны неразвернутый угол и отрезок. Постройте треугольник, у которого одна сторона равна отрезку, вторая сторона равна половине отрезка, а угол между этими сторонами равен углу.

Решаю только 5 номеров, как Вы и сказали. Сильно много вопросов просто.

Номер 1.

Угол АСВ= 180-110=70.(Как смежные)

Угол АСВ= углуВАС => ΔАВС - равнобедренный, что и требовалось доказать.

Номер 2.

Угол ВАС= 180-100=80(Как смежные)

УголАСВ=углу вертикальному=80.

УголВАС=углуАСВ => ΔАВС - равнобедренный, что и требовалось доказать.

Задание 3.

Рассмотрим АС и DE.

Они параллельны, поскольку соответственные углы равны.

Если BD=BE, то ΔBDE - равнобедренный, более того, тогда уголD=углуЕ и, соответственно, уголВАС=углу АСВ => ΔABC - равнобедренный, что и требовалось доказать.

Задание 4.

Рассмотрим ΔDAB и ΔDCB.

AD=DC, DB - общая сторона, уголADB= углу CDB => треугольники равны(по двум сторонам и углу между ними). ΔDAB=ΔDCB.

Значит, АВ=ВС => треугольник АВС- равнобедренный, что и требовалось доказать.

Задание 5.

Прямая BD.

УголАЕВ=180-уголAED.

УголСЕВ=180-уголCED.

Углы CED и AED равны, значит, уголАЕВ=углуСЕВ.

Рассмотрим ΔAEB и ΔCEB.

EB - общая сторона, угол АВЕ= углу СВЕ, угол АЕВ=углуСЕВ => треугольники АЕВ и СЕВ равны по стороне и двум прилегающим к ней углам. Отсюда АВ=ВС => ΔАВС - равнобедренный, что и требовалось доказать.

Остальное решаешь сам(а), удачи!

Из точки описанной окружности на прямые сторон треугольника опущены перпендикуляры. Основания перпендикуляров лежат на прямой Симсона.  

Точка I лежит на биссектрисе угла B, следовательно делит дугу XY пополам. Пусть Bo - середина хорды XY. Тогда IBo - серединный перпендикуляр к XY (хорды IX и IY равны, стягивают равные дуги).

I - точка на окружности, описанной около треугольника XBY. IAo, IBo, ICo - перпендикуляры, опущенные на стороны треугольника XBY. Основания перпендикуляров Ao, Bo, Co лежат на прямой Симсона.