Даны параллельные проекции сторон AB и BC правильного шестигранника ABCDEF. Постройте изображение этого шестиугольника.

Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника, поэтому достаточно найти площадь одного из них (см. рисунок). В треугольнике AOB высота OH делит гипотенузу AB на отрезки, равные 1 и 4. Известно, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому длин отрезков, на которые она делит гипотенузу. (Этот факт, насколько мне известно, не нужно доказывать, но это легко сделать, так как треугольники AOH и BOH подобны, поэтому AH/OH=OH/BH). Тогда OH=√AH*BH=2. Зная длину гипотенузы и длину высоты, опущенной на неё, можно найти площадь треугольника, которая равна 1/2*(4+1)*2=5. А площадь ромба, то есть площадь 4 таких треугольников, равна 5*4=20.

Пусть коэффициент отношения bm:bn=х 
Тогда ab=2*bn=2*5х=10х 
bc=2*bm=2*3х=6х 
Проведем среднюю линию ok в треугольнике abc.
Тогда ao=ob=bn=5х 
bk=kc=bm=3х 
ab:bо=10x:5x=2:1
bc:bk=6x:3x=2:1 
Стороны треугольников abc и bmn пропорциональны и относятся как 2:1. 
Угол  b общий для обоих треугольников.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 
Коэффициент подобия треугольников 2:1.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. 
а) Pabc : Pnbm =2:1 
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. 
б)  Sabc: Snbm =2²:1²=4:1 
mn=ОК=АС:2 ( ОК - средняя линия) 
в) mn:ac=1:2