Сечение полушара плоскостью "другого" основания - это (само собой) окружность, причем это окружность, описанная вокруг правильного треугольника, который является этим основанием. Радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара R = 8 связаны теоремой Пифагора, то есть r^2 = R^2 - h^2; Сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением r^2 = a^2/3; а площадь S основания призмы равна S = a^2*√3/4 = r^2*3√3/4 = (3√3/4)*(R^2 - h^2); Объем, само собой, равен V = S*h = (3√3/4)*(R^2 - h^2)*h; В точке экстремума V'(h) = (3√3/4)*(R^2 - 3*h^2) = 0; то есть h = R/√3; Поскольку V(h) = 0; при h = 0 и h = R; V(h) > 0 при 0 < h < R; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. Значение V в точке максимума равно V = R^3/2;
Пусть единицей измерения длины будет меньшая часть стороны. Тогда сторона прямоугольника равна 3 и делится срединным перпендикуляром к диагонали на отрезки 2 и 1. Вот этот перпендикуляр, кусок стороны прямоугольника длины 2 и половина диагонали образуют прямоугольный треугольник. Его гипотенуза равна 2. Если из середины диагонали, то есть из вершины прямого угла ЭТОГО прямоугольного треугольника, провести высоту к его гипотенузе, то она поделит сторону прямоугольника пополам. То есть отсечет на гипотенузе 2 отрезок 3/2; второй отрезок очевидно будет равен 2 - 3/2 = 1/2; В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе делит треугольник на два,подобные между собой (и исходному треугольнику тоже подобные). Поэтому, если обозначить проведенную высоту h (конечно же - это половина второй стороны прямоугольника), то h/(3/2) = (1/2)/h; h^2 = 3/4; h = √3/2; Теперь легко сосчитать, что длина отрезка срединного перпендикуляра между диагональю и стороной (то есть - один из катетов ЭТОГО прямоугольного треугольника) равен √(h^2 + (1/2)^2 = √(3/4 + 1/4) = 1; то есть получилось, что катет в два раза меньше гипотенузы. Поэтому острый угол этого прямоугольного треугольника, то есть угол между диагональю и стороной прямоугольника, равен 30°;
Радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара R = 8 связаны теоремой Пифагора, то есть
r^2 = R^2 - h^2;
Сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением
r^2 = a^2/3;
а площадь S основания призмы равна
S = a^2*√3/4 = r^2*3√3/4 = (3√3/4)*(R^2 - h^2);
Объем, само собой, равен
V = S*h = (3√3/4)*(R^2 - h^2)*h;
В точке экстремума
V'(h) = (3√3/4)*(R^2 - 3*h^2) = 0; то есть h = R/√3;
Поскольку V(h) = 0; при h = 0 и h = R; V(h) > 0 при 0 < h < R; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. Значение V в точке максимума равно
V = R^3/2;
Вот этот перпендикуляр, кусок стороны прямоугольника длины 2 и половина диагонали образуют прямоугольный треугольник. Его гипотенуза равна 2.
Если из середины диагонали, то есть из вершины прямого угла ЭТОГО прямоугольного треугольника, провести высоту к его гипотенузе, то она поделит сторону прямоугольника пополам. То есть отсечет на гипотенузе 2 отрезок 3/2; второй отрезок очевидно будет равен 2 - 3/2 = 1/2;
В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе делит треугольник на два,подобные между собой (и исходному треугольнику тоже подобные). Поэтому, если обозначить проведенную высоту h (конечно же - это половина второй стороны прямоугольника), то
h/(3/2) = (1/2)/h; h^2 = 3/4; h = √3/2;
Теперь легко сосчитать, что длина отрезка срединного перпендикуляра между диагональю и стороной (то есть - один из катетов ЭТОГО прямоугольного треугольника) равен √(h^2 + (1/2)^2 = √(3/4 + 1/4) = 1; то есть получилось, что катет в два раза меньше гипотенузы. Поэтому острый угол этого прямоугольного треугольника, то есть угол между диагональю и стороной прямоугольника, равен 30°;