Очень важная задача. Пусть прямая BP II KM пересекает продолжение AC в точке P. Тогда по известной теореме о пропорциональности отрезков разных прямых между параллельными можно записать два равенства AK/KB = AT/TP; BM/MC = TP/CT; если перемножить эти равенства, то получится (AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT; (*) Если подставить AK/KB = 4; BM/MC = 3/2; то AT/CT = 4*3/2 = 6; AT = AC + CT; то есть AC/CT + 1 = 6; AC/CT = 5;
Если вернуться к соотношению (*) (AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT; то его можно переписать так (AK/KB)*(BM/MC)*(CT/AT) = 1; или (AK*BM*CT)/(KB*MC*AT) = 1; это выражение называется теорема Менелая.
PS. Вместо теоремы о пропорциональности отрезков можно сослаться на подобие треугольников AKT и ABP и треугольников CMT и CBP. Это то же самое.
Если прямая (DC), параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC). Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α. Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°. Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
Пусть прямая BP II KM пересекает продолжение AC в точке P.
Тогда по известной теореме о пропорциональности отрезков разных прямых между параллельными можно записать два равенства
AK/KB = AT/TP;
BM/MC = TP/CT;
если перемножить эти равенства, то получится
(AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT; (*)
Если подставить AK/KB = 4; BM/MC = 3/2; то AT/CT = 4*3/2 = 6;
AT = AC + CT; то есть AC/CT + 1 = 6; AC/CT = 5;
Если вернуться к соотношению (*)
(AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT;
то его можно переписать так
(AK/KB)*(BM/MC)*(CT/AT) = 1;
или (AK*BM*CT)/(KB*MC*AT) = 1; это выражение называется теорема Менелая.
PS. Вместо теоремы о пропорциональности отрезков можно сослаться на подобие треугольников AKT и ABP и треугольников CMT и CBP. Это то же самое.
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²