Даны точки A(4,2,4), B(1,0,3), C(2,-2,-2), D(-3,4,4).Точки U, V, W - середины отрезков AB, BC, CD соответственно 1. Найдите растояние между точками U и W.

2. Найдите объем тетраэдра ABCD.

3. Найдите площадь треугольника ABC

4. Найдите косинус тупого угла между плоскостями ABC и DBC.

5. Найдите синус острого угла между пл-ю ABC и прямой DB.

6. Найдите расстояние от точки С до прямой AB.

7. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.

8. Найдите точку пересечения прямой UW с плоскостью ADV.

9. Найдите точку K на прямой AB так, чтобы DK перп. AB.

10.Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен углу между образующей и радиусом основания, проведенного к данной образующей. Площадь боковой поверхности конуса: pi*R*l, площадь основания - pi*R^2. Поскольку площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания, то pi*R*l = 2*pi*R^2. упрощаем уравнение: l = 2R. Из рисунка CB = 2OB. Из прямоугольного треугольника COB: угол, который лежит против катета, который в два раза меньше гипотенузы, равен 30 градусов. OB - катет, CB - гипотенуза, следовательно, угол BOC = 30 градусов. Искомый угол CBO = 90 - 30 = 60 градусов.

Рисунок - во вложении.

Т.к. E и F - внутренние точки отрезка АВ, и по условию АЕ=BF, то

для EB=AB-AE и для AF=AB-BF следует, что EB=AF.

Рассмотрим прямоугольные ΔADF и ΔВСЕ. У них: 1) АD=BC (противолежащие стороны прямоугольника); 2) AF=EB (по доказанному выше). Значит, ΔADF = ΔВСЕ по двум катетам.

Из равенства этих треугольников следует, что ∠DFA=∠СЕВ. Отсюда, ΔEGF - равнобедренный с основанием EF, тогда GF=GE. Доказан пункт Б).

Т.к. АВСD - прямоугольник, то АВ║CD. Тогда ∠EFG=∠GDC(как накрестлежащие при секущей FD) и ∠FEG=∠GCD (как накрестлежащие при секущей ЕС). Отсюда, ΔDGС - равнобедренный с основанием DC, тогда DG=GC. Доказан пункт A).