Даны точки A,B,C и D. Известно, что точки A,B.C лежат на одной прямой и точки B,C,D также лежат на одной прямой. Докажите , что все четыре точки лежат на одной прямой

1).

Перпендикулярные плоскости образуют двугранный угол, линейный угол которого образован лучами с общим началом на ребре двугранного угла, проведенными в его гранях перпендикулярно ребру.  

Здесь грани - плоскости треугольников АВС и АВС1, ребро двугранного угла – АВ.

НС⊥АВ; НС1⊥АВ, угол СНС1=90° по условию. 

 ∆ АВС и ∆ АВС1 равнобедренные прямоугольные, углы при их общем основании АВ равны 45°, ⇒ они равны по 2-признаку равенства треугольников. 

∆ СНС1- прямоугольный. Его катеты равны высотам=медианам равных треугольников. Следовательно, он равнобедренный.

Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. ⇒

НС=НС1=3 

СС1=3•sin45°=3√2 см

 2)  

Расстояние от точки М до плоскости - длина отрезка МН, проведенного между ними перпендикулярно. МН=18

Расстояние от точки М до ребра двугранного угла - длина отрезка МК, проведенного между ними перпендикулярно. 

∆ МКН - прямоугольный. Его гипотенуза МК=МН:sin60°

MK=18:(√3/2)=12√3

призма АВСДА1В1С1Д1, АД1=12 уголА1АД1=30, в основании квадрат АВСД, АВ=ВС=СД=АС, треугольник АА1Д1 прямоугольный, АА1=АД1*cos30=12*корень3/2=6*корень3- высота призмы, А1Д1=1/2*АД1=12/2=6=АД, периметр АВСД=4*6=24, площадь боковой=периметр*высота=24*6*корень3=144*корень3, 2) призма АВСА1В1С1, в основании равносторонний треугольник АВС, АВ=ВС=АС, АС1=а, уголА1АС1=β, АА1-высота призмы=АС1*cosβ=а*cosβ, А1С1=АС=АС1*sinβ=а*sinβ, периметр АВС=3*АС=3*а*sinβ, площадь боковой = периметр основания*высота=3*а*sinβ*а*cosβ=3*а в квадрате*sinβ*cosβ=3/2 *а в квадрате*sin2β