Даны вершины пирамиды а (3; -1; 1), b (5; 2; -1), c (2; -2; 1), d (2; 7; 1). найти:
а) угол между ребрами ав и ас;
б) площадь грани авс;
в) объем тетраэдра авсd;
г) уравнение плоскости авс;
д) угол между ребром аd и гранью авс;
е) уравнение высоты, опущенной из вершины d на грань авс.

Даны вершины пирамиды А (3; -1; 1), B (5; 2; -1), C (2; -2; 1), D (2; 7; 1).

а) угол между ребрами АВ и АС;

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} =(2; 3; -2). Модуль = √17 ≈ 4,123.  

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} = (-1; -1; 0). Модуль = √2 ≈ 1,414.  

Их скалярное произведение равно -2 - 3 + 0 = -5.

cos a = |-5|/(√17*√2) = 5/√34 ≈ 0,8575.

Угол равен arc cos(5/√34) = 0,5404 радиан или 30,964 градуса.

б) площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения АВ на АС:

                 а1                     а2                  а3

a × b = {aybz - azby;   azbx - axbz;   axby - aybx}      

Подставим координаты векторов, полученные выше:

a1     a2       a3         S =

-2       2    1            1,5 .

в) объем тетраэдра АВСD;

Надо ещё определить координаты вектора АД.

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-1; 8; 0). Модуль = √65 ≈ 8,0622.  

Объем тетраэдра АВСD равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВхАС) х (АД).

V = (1/6)*((-2)*(-1) + 2*8 + 1*0) = (1/6)*18 = 3 куб.ед.

г) уравнение плоскости АВС определяем по координатам точек.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA                y - yA                         z - zA

xB - xA                 yB - yA                       zB - zA

xC - xA                 yC - yA                        zC - zA       = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 3            y - (-1)                  z - 1

5 - 3             2 - (-1)                  (-1) - 1

2 - 3            (-2) - (-1)              1 - 1         = 0

(x - 3) (y - (-1))       ( z - 1 )

2             3                  -2

-1             -1                  0        = 0

(x - 3)*3·0-(-2)·(-1)  -  (y - (-1))*2·0-(-2)·(-1)  +  (z - 1)*2·(-1)-3·(-1)  = 0

(-2)(x - 3)  + 2(y - (-1))  + 1(z - 1)  = 0

  -2x + 2y + z + 7 = 0

д) угол между ребром АD и гранью АВС;

sin b = (-2*-1+2*8+1*0)/(3*√65) = 18/(3√65) = 6/√65.

Угол равен 0,8393 радиан или 48,091 градуса.

е) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).

Уравнение плоскости АВС: -2x + 2y + z + 7 = 0 .

Точка D  = (2; 7; 1).

Уравнение высоты (x - 2)/-2 = (y - 7)/2 = (z - 1)/1.