Диагональ осевого сечения цилиндра равна 6 см, а угол между даигоналями, который лежит напротив диаметра, равен 120градусов. Найти обьем цилиндра. С рисунком

АВ=CD так как противоположные стороны параллелограмма равны. Тогда 0,5*АВ=0,5*CD.

Так как К – середина АВ, то АК=0,5*АВ.

Так как Е – середина CD, то ЕС=0,5*CD.

Получим что АК=ЕС.

АК//ЕС, так как AB//CD, поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны.

Тогда получим что AECK – параллелограмм, так как противоположные стороны паралельны и равны. Следовательно АЕ//КС так как противоположные стороны параллелограмма параллельны.

По обобщённой теореме Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

То есть:

Пусть СЕ=n, тогда ED=n так же, так как CE=ED. Тогда:

Пусть AK=m, тогда КВ=m так же, так как AK=KB.

Получим что PD:LP:BL=1:1:1, или иначе говоря отрезки равны.

ответ: 1

На первом вложенном файле приведено доказательство формулы длины биссектрисы 

l = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c); (здесь, и далее в таких случаях В - это угол АВС)

Эта формула нам понадобится. Второй вложенный файл - это чертеж к задаче.

По условию

5/6 = МК/СК = МВ/СВ = (АВ/ВС)/2; 

АВ/ВС = 10/6 = 5/3.

Поэтому треугольник "египетский", подобный (3,4,5).

Без ограничения общности принимаем длину меньшего катета ВС за 3, тогда АС = 4, АВ = 5; (это просто я выбрал единицу длины, отношение LK/BK от такого выбора не зависит, конечно же).

Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ = МС = с/2, с - гипотенуза АВС, то есть с = АВ, и заодно a = BC, b = AC для краткости записи), получим

ВК = 2*a*(c/2)*cos(B/2)/(a + c/2) = 2*a*c*cos(B/2)/(2*a + c);

Аналогично для треугольника АВС

BL = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c);

Делим одно на другое, получаем

ВК/BL = (a + c)/(2*a + c);

Дальше - очень простые выкладки (я намеренно не подставляю числа)

ВК = BL*(a + c)/(2*a + c); KL = BL - BK = BL*(1 - (a + c)/(2*a + c)) = BL*a/(2*a + c);

KL/BK = a/(a + c); 

При а = 3; c = 5; KL/BK = 3/8;

Примечание. То, что треугольник "египетский", на решение совершенно не влияет. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ = с/2. 

В задаче задано отношение k = 5/6 = МК/СК = ВМ/BC = c/(2*a); то есть c/a = 2*k;

Далее в решении получено соотношение KL/BK = a/(a + c); легко привести это к виду

KL/BK = 1/(2*k + 1);

при к = 5/6; KL/BK = 1/(2*(5/6) + 1) =  1/(8/3) = 3/8; 

В качестве примера я возьму треугольник (5,12,13) - это тоже прямоугольный треугольник.  Я принимаю, что a = 5; (можно взять в качестве a другой катет, получится другой результат).

Тогда 2*k = 13/5; k = МК/СК = 13/10;

KL/BK = 1/(2*k + 1) = 1/(13/5 + 1) = 5/18;

Так что особенность тр-ка АВС в решении данной задачи никакой роли не играет - я получил общее решение для произвольного k = МК/СК.