Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
В пункте 46 мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке.
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC треугольника ABC (рис. 33). Докажем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC.
По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку OA = OB и OB = OC, поэтому OA = OC. Таким образом, точка O равноудалена от концов отрезка AC и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре b к этому отрезку. Итак, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O, и эта точка равноудалена от вершин A, B и C. Теорема доказана.
Замечание. Мы начали доказательство теоремы с того, что обозначили буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC. А верно ли, что прямые a и c пересекаются? Докажем, что это верно.
Проведем через точку B прямые p и q, что p ⊥ AB и q ⊥ BC (рис. 34). Поскольку прямые p и c перпендикулярны к прямой AB, то p || c.
Аналогично доказывается, что q || a. Прямая p пересекает прямую q (в точке B), поэтому она пересекает и параллельную ей прямую a (см. рис. 34); прямая a пересекает прямую p, поэтому она пересекает и параллельную ей прямую c. Итак, прямая a пересекает прямую c, что и требовалось доказать.
Ще в XIX в. Африку представляли як материк незайманої природи. Проте вже й тоді вона була значно змінена людиною. Скоротилася площа лісів, які віками розкорчовуються і випалювались під ріллі та пасовища. Особливо великої шкоди природі Африки завдали європейські колонізатори. Полювання, часто проводиться заради розваги або в ім’я наживи, призвела до масового винищення тварин. Багато тварин повністю знищені (наприклад, деякі види антилоп, зебр), а кількість інших (слонів, носорогів, горил тощо) значно скоротилося. Європейці вивозили дорогу деревину в свої країни. Виникла небезпека повного зникнення лісів. Території на місці зведених лісів займали під плантації дерева какао, олійної пальми, арахісу і т. д. Так на місці екваторіальних і змінно – вологих лісів утворилися савани. Значно змінилася природа і первинних саван, де величезні площі були розорані і використовувалися під пасовища.
Неправильне ведення сільського господарства (випалювання лісів, надмірний випас худоби, вирубка дерев і чагарників) протягом багатьох століть призвели до того, що савани стали поступатися місцем пустель. Тільки за останні півстоліття площа Сахари збільшилася на 650 тис. км2, значно просунувшись на південь. В даний час намагаються врятувати савани від наступу пустель, створюючи широкі лісові смуги, які заслонять землеробські території від сухих вітрів пустелі. Є кілька проектів обводнення Сахари. Далеко не останню роль у зміні природи Африки зіграли і розробка корисних копалин, розвиток промисловості, особливо на півночі і півдні материка.
Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
В пункте 46 мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке.
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC треугольника ABC (рис. 33). Докажем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC.
По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку OA = OB и OB = OC, поэтому OA = OC. Таким образом, точка O равноудалена от концов отрезка AC и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре b к этому отрезку. Итак, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O, и эта точка равноудалена от вершин A, B и C. Теорема доказана.
Замечание. Мы начали доказательство теоремы с того, что обозначили буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC. А верно ли, что прямые a и c пересекаются? Докажем, что это верно.
Проведем через точку B прямые p и q, что p ⊥ AB и q ⊥ BC (рис. 34). Поскольку прямые p и c перпендикулярны к прямой AB, то p || c.
Аналогично доказывается, что q || a. Прямая p пересекает прямую q (в точке B), поэтому она пересекает и параллельную ей прямую a (см. рис. 34); прямая a пересекает прямую p, поэтому она пересекает и параллельную ей прямую c. Итак, прямая a пересекает прямую c, что и требовалось доказать.
Объяснение:
Ще в XIX в. Африку представляли як материк незайманої природи. Проте вже й тоді вона була значно змінена людиною. Скоротилася площа лісів, які віками розкорчовуються і випалювались під ріллі та пасовища. Особливо великої шкоди природі Африки завдали європейські колонізатори. Полювання, часто проводиться заради розваги або в ім’я наживи, призвела до масового винищення тварин. Багато тварин повністю знищені (наприклад, деякі види антилоп, зебр), а кількість інших (слонів, носорогів, горил тощо) значно скоротилося. Європейці вивозили дорогу деревину в свої країни. Виникла небезпека повного зникнення лісів. Території на місці зведених лісів займали під плантації дерева какао, олійної пальми, арахісу і т. д. Так на місці екваторіальних і змінно – вологих лісів утворилися савани. Значно змінилася природа і первинних саван, де величезні площі були розорані і використовувалися під пасовища.
Неправильне ведення сільського господарства (випалювання лісів, надмірний випас худоби, вирубка дерев і чагарників) протягом багатьох століть призвели до того, що савани стали поступатися місцем пустель. Тільки за останні півстоліття площа Сахари збільшилася на 650 тис. км2, значно просунувшись на південь. В даний час намагаються врятувати савани від наступу пустель, створюючи широкі лісові смуги, які заслонять землеробські території від сухих вітрів пустелі. Є кілька проектів обводнення Сахари. Далеко не останню роль у зміні природи Африки зіграли і розробка корисних копалин, розвиток промисловості, особливо на півночі і півдні материка.