Диагонали четырехугольника ABCD АС и BD пересекаются в точке О так, что ОС = 5 см, ОВ = 6 см, ОА = 15 см, OD = 18 см. Докажите, что в четырехугольнике ABCD ВС||AD и найдите отношение треугольников AOD и ВОС

Дано :

Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Отрезки АС и BD - диагонали.

Точка О - точка пересечения диагоналей.

АВ = 15 (см).

АС = 25 (см).

BD = 11 (см).

Найти :

S(ABCD) = ?

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно -

DO = OB = 11 (см) : 2 = 5,5 (см)

АО = ОС = 25 (см) : 2 = 12,5 (см).

Диагонали параллелограмма точкой пересечения образуют четыре равновеликих (равных по площади) треугольника.

Отсюда следует, что -

S(ΔABO) = S(ΔBOC) = S(ΔCOD) = S(ΔAOD).

Рассмотрим ΔАВО.

Зная все три стороны треугольника, можно найти его площадь по формуле Герона -

Где S - площадь треугольника; p - полупериметр треугольника (половина периметра); a, b и с - длины сторон треугольника.

см.

Подставим в формулу Герона -

S(ΔABO) = 33 (cм²).

По выше сказанному -

S(ABCD) = S(ΔABO) + S(ΔBOC) + S(ΔCOD) + S(ΔAOD) = 4*S(ΔABO) = 4*33 (см²) = 132 (см²).

132 (см²).

sin(α) = sin(180° - α)

1) S(ABC) = 0,5·AB·BC·sin(∠ABC),

S(A'BB') = 0,5·A'B·BB'·sin(∠A'BB') = 0,5·AB·2BC·sin(180° - ∠ABC) =

= AB·BC·sin(∠ABC) = 2·S(ABC)

2) S(ABC) = 0,5·AC·AB·sin(∠BAC)

S(AC'A') = 0,5·AC'·AA'·sin(∠C'AA') = 0,5·AC·2AB·sin(180° - ∠BAC) =

= AC·AB·sin(∠BAC) = 2·S(ABC).

3) S(ABC) = 0,5·AC·BC·sin(∠ACB)

S(B'CC') = 0,5·B'C·CC'·sin(∠B'CC') = 0,5·BC·2AC·sin(180° - ∠ACB) =

= BC·AC·sin(∠ACB) = 2·S(ABC).

Итак, S(A'B'C') = S(ABC) + S(A'BB') + S(AC'A') + S(B'CC') =

= S(ABC) + 2S(ABC) + 2S(ABC) + 2S(ABC) = 7·S(ABC).

ответ. В 7 раз.