Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы (свойство). Гипотенуза равна 2*30=60см. Высота нашей пирамиды проецируется в середину гипотенузы (центр описанной окружности), так как боковые рёбра наклонены под одним углом к основанию (дано) и, следовательно, они равны, так же как и их проекции. То есть АН=ВН=СН=30 см. В прямоугольном треугольнике ASH угол АSH=30° (так как сумма острых углов равна 90°, а <SAH=60° - дано). Тогда гипотенуза SA равна 2*АН или SA=60 см. По Пифагору SH=√(SA²-AH²) или SH=√(60²-30²)=30√3см. ответ: высота пирамиды равна 30√3 см.
Второй вариант решения: В прямоугольном треугольнике ASH тангенс угла SAH (<SAH=60° - дано) равен отношению ПРОТИВОЛЕЖАЩЕГО катета к прилежащему, то есть Tg60°=SH/AH, отсюда SH=AH*tg60° или SH=30*√3 см. ответ: высота пирамиды равна 30√3 см.
А диаметр описанной окружности как раз равен гипотенузе, которая в два раза больше медианы, то есть ответ 48.
Странные тут задачи попадаются.
Поступила сделать полное решение :
Полное решение, конечно, предполагает изложение всей теории вписанных углов и свойств прямоугольных треугольников. Обычно за этим к учебникам отсылают :)))
Итак.
Если треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Правильное с точки зрения теории объяснение вам, видимо, не поэтому просто его назову - вписанный прямой угол всегда опирается на диаметр, поскольку опирается на дугу в пол-окружности.
Но можно это и так увидеть, да и задачу вашу решить "нестандартным если продлить медиану на её собственную длину и соединить полученную точку с концами гипотенузы. Получился ПРЯМОУГОЛЬНИК. Доказательство этого совершенно очевидного факта я осталяю вам. Скажу только, что полученные 4 треугольника попарно равны по 2 сторонам и углу между ними, поэтому противоположные стороны параллельны (а по какому признаку?:), а раз там есть один прямой угол, то у нас прямоугольник. Точка пересечения диагоналей в прямоугольнике равноудалена от вершин (а почему?), поэтому
1. центр окружности, описанной вокруг исходного треугольника, лежит в середине гипотенузы
2. медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы (а почему?).
Всё это, и еще многое другое вы должны знать, приступая к решению этой задачи... и тогда мое решение не покажется вам неполным... Оно то как раз очень полное :))) именно такое, какое должно быть. В штатном случае решение подобной задачи в тетради выглядит еще короче :)))
Высота нашей пирамиды проецируется в середину гипотенузы (центр описанной окружности), так как боковые рёбра наклонены под одним углом к основанию (дано) и, следовательно, они равны, так же как и их проекции. То есть АН=ВН=СН=30 см.
В прямоугольном треугольнике ASH угол АSH=30° (так как сумма острых углов равна 90°, а <SAH=60° - дано).
Тогда гипотенуза SA равна 2*АН или SA=60 см.
По Пифагору SH=√(SA²-AH²) или SH=√(60²-30²)=30√3см.
ответ: высота пирамиды равна 30√3 см.
Второй вариант решения:
В прямоугольном треугольнике ASH тангенс угла SAH
(<SAH=60° - дано) равен отношению ПРОТИВОЛЕЖАЩЕГО катета к прилежащему, то есть Tg60°=SH/AH, отсюда
SH=AH*tg60° или SH=30*√3 см.
ответ: высота пирамиды равна 30√3 см.
А диаметр описанной окружности как раз равен гипотенузе, которая в два раза больше медианы, то есть ответ 48.
Странные тут задачи попадаются.
Поступила сделать полное решение :
Полное решение, конечно, предполагает изложение всей теории вписанных углов и свойств прямоугольных треугольников. Обычно за этим к учебникам отсылают :)))
Итак.
Если треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Правильное с точки зрения теории объяснение вам, видимо, не поэтому просто его назову - вписанный прямой угол всегда опирается на диаметр, поскольку опирается на дугу в пол-окружности.
Но можно это и так увидеть, да и задачу вашу решить "нестандартным если продлить медиану на её собственную длину и соединить полученную точку с концами гипотенузы. Получился ПРЯМОУГОЛЬНИК. Доказательство этого совершенно очевидного факта я осталяю вам. Скажу только, что полученные 4 треугольника попарно равны по 2 сторонам и углу между ними, поэтому противоположные стороны параллельны (а по какому признаку?:), а раз там есть один прямой угол, то у нас прямоугольник. Точка пересечения диагоналей в прямоугольнике равноудалена от вершин (а почему?), поэтому
1. центр окружности, описанной вокруг исходного треугольника, лежит в середине гипотенузы
2. медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы (а почему?).
Всё это, и еще многое другое вы должны знать, приступая к решению этой задачи... и тогда мое решение не покажется вам неполным... Оно то как раз очень полное :))) именно такое, какое должно быть. В штатном случае решение подобной задачи в тетради выглядит еще короче :)))