Длина AB = 12 см и AC = 10 см от точки по окружности радиусом 4,25 см. дирижирует двумя хорами. Если расстояние от центра малого хорды до большого составляет 4 см.
Тогда найдите площадь треугольника ABC,

В трапеции ABCD (AD II BC) биссектриса угла ABC пересекает среднюю линию в точке P. Докажите, что угол APB = 90 градусов. 
--
Биссектриса делит угол АВС пополам.
Пусть она пересекает АД в точке К. 
Угол СВК равен углу ВКА как накрестлежащий.  Но СВК=АВК по условию ⇒ углы пи ВК равны, и треугольник ВАК - равнобедренный.  
Средняя линия трапеции является и средней линией треугольника АВК и  делит стороны пополам. 
ВР=РК.⇒ АР - медиана треугольника ВАК.
Так как в равнобедренном треугольнике медиана является и биссектрисой, и высотой, АР - выстоа, перпендикулярна ВК и угол АРВ=90º

Ну вот если продлить отрезки, соединяющие вершины с серединами сторон, а из вершин провести прямые параллельно этим отрезкам, то при пересечении они образуют
1) попарно равные треугольники с треугольниками, образовались которые внутри квадрата
2) четыре квадрата, равных квадрату, образованному внутри (площадь которого надо найти). Это проще всего понять, если заметить, что вся эта конструкция переходит в себя при повороте на 90° вокруг центре исходного квадрата - поскольку "в себя" переходят и вершины, и середины сторон.
Кстати, это доказывает и то, что фигура, площадь которой надо найти - тоже квадрат. В условии это сказано, но не ясно, откуда это следует.
Поскольку все таких квадратов 5, и все они одинаковые, и площадь их (из за пункта 1) равна площади исходного квадрата, все доказано.