Длина пояса у основания цилиндра составляет 4 √14, и он находится на расстоянии 5 от центра нижнего основания и 13 от центра верхнего основания. Найдите объем цилиндра.

Пусть ABCD - прямоугольник площади 48, E, F, G, H - середины его сторон. Нужно вычислить площадь шестиугольника AEFCGH. Вычислим площади треугольников EBF и GHD и вычтем из их площади прямоугольника. Очевидно, что тогда мы получим площадь шестиугольника.

Пусть AB=a, BC=b. Так как E - середина AB, BE=a/2. Так как F - середина BC, BF=b/2. Тогда площадь треугольника EBF равна 1/2*a/2*b/2=ab/8=48/8=6см² (площадь прямоугольника равна ab). Аналогично, так как G - середина CD и H - середина AD, GD=a/2, HD=b/2, площадь треугольника GHD равна 1/2*a/2*b/2=ab/8=6см².

Таким образом, площадь шестиугольника равна 48-6-6=36см²

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит <ABC=<ACB=(180-<BAC)/2=(180-80)/2=50°
<АВМ=<АВС-<МВС=50-30=20°
<АСМ=<АСВ-<МСВ=50-10=40°
Рассмотрим треугольник ВМС:
 <ВМС=180-<МВС-<МСВ=180-30-10=140°.
По теореме синусов МС/sin 30=BC/ sin 140
MC=BC*sin 30/sin 140=BC/2sin (180-40)=BC/2sin 40
Если в треугольнике АВС из вершины А опустить высоту АН на основание ВС, то она же будет и медиана и биссектриса. Из полученного треугольника АНС (<НАС=80/2=40°, <АНС=90°, НС=ВС/2) по теореме синусов
НС/sin 40=АC/ sin 90
АC=BC/2sin 40
Получается, что МС=АС, значит треугольник АМС - равнобедренный
<САМ=<АМС=(180-<ACM)/2=(180-40)/2=70°.