Мы знаем, во-первых, теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, где a,b - катеты, c - гипотенуза. В нашем случае, раз треугольник равнобедренный, то a=b и теорема примет вид: a^2 + a^2 = c^2 2 * a^2 = c^2 Во-вторых, мы знаем выражение для площади прямоугольного треугольника: S = 1/2 * a * b (частный случай формулы площади в общем виде, где S = 1/2 * a * h). Зная, что a = b, площадь примет вид: S = 1/2 * a * a = 1/2 * a^2 Сопоставляя первое и второе выражения, видим, что c^2 = 4 * S Отсюда, подставляя имеющееся значение: c^2 = 4 * 50 = 200 c = корень из 200 = 2 * (корень из 10)
а) Треугольники АНС и ВНС прямоугольные, поэтому MH=0,5*АС=СМ и NH=0,5*CB=CN. Значит, треугольники MCN и MHN равны по трём сторонам, откуда <MHN = <MCN = 90 градусов.
б) В прямоугольном треугольнике АВС имеем: CH=√АН*ВН=√2592.
В прямоугольных треугольниках МНР и MCQ с общим углом CMH получаем:
МН/МР=МС/МQ=сos<СМН,
поэтому треугольники МНС и MРQ подобны с коэффициентом подобия сos<СМН.
Площадь S треугольника МНС равна половине площади треугольника АНС, то есть S=(АН*СН)/4=72*√2592/4=18*√2592=648*√2
a^2 + a^2 = c^2
2 * a^2 = c^2
Во-вторых, мы знаем выражение для площади прямоугольного треугольника: S = 1/2 * a * b (частный случай формулы площади в общем виде, где S = 1/2 * a * h). Зная, что a = b, площадь примет вид:
S = 1/2 * a * a = 1/2 * a^2
Сопоставляя первое и второе выражения, видим, что c^2 = 4 * S
Отсюда, подставляя имеющееся значение:
c^2 = 4 * 50 = 200
c = корень из 200 = 2 * (корень из 10)
б) В прямоугольном треугольнике АВС имеем: CH=√АН*ВН=√2592.
В прямоугольных треугольниках МНР и MCQ с общим углом CMH получаем:
МН/МР=МС/МQ=сos<СМН,
поэтому треугольники МНС и MРQ подобны с коэффициентом подобия сos<СМН.
Площадь S треугольника МНС равна половине площади треугольника АНС, то есть S=(АН*СН)/4=72*√2592/4=18*√2592=648*√2
Найдём сos<СМН:
сos<СМН=сos(2<САН)=2cos^2<САН-1=2AH^2/АС^2-1=2AH^2/(АН^2+CH^2)-1=0,33.
Значит, площадь треугольника MPQ равна S/сos^2<СМН=5832√2
Ответ: б) 5832√2.