До кола з центром проведену дотичну в точці Аі на ній позначену точку В так, що с ABO = 450. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо радіус кола дорівнює 7 см.
1. Треугольник АВС и А₁В₁С₁ подобны. ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁ сходственные стороны. Найдите величину АВ и отношение площадей этих треугольников, если АС : А₁С₁ = 3 : 4, А₁В₁ = 12 см.
2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см. Площадь первого треугольника равна 8 см². Найти площадь второго треугольника.
1. АВ = 9 см
Sabc : Sa₁b₁c₁ = 9 : 16
2. 50 см²
Объяснение:
1. ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁, значит
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ = k
АВ : 12 = 3 : 4
АВ = 12 · 3 / 4 = 9 см
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
Sabc : Sa₁b₁c₁ = k²
Sabc : Sa₁b₁c₁ = (3/4)²
Sabc : Sa₁b₁c₁ = 9 : 16
2.
Треугольники подобны, значит
k = 2/5
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
К - середина АС. Поскольку центр SAC лежит на SK на расстоянии SK/3 от К, то искомое расстояние равно 2/3 от KQ, где KQ перпендикуляр к SP (необходимые перпендикулярности всех прямых и плоскостей докажите сами, там все просто), Р - середина MN.
Если ребро пирамиды a = 6, то PN = a/4; (тут была ошибка! - приношу извинения)
Прямоугольные треугольники SOP и PQK имеют общий острый угол KPS, поэтому они подобны.
Поэтому SO/SP = KQ/КР;
SO - это высота тетраэдра, SO = a√(2/3);
КР = a√3/4 (половина высоты грани)
получается
KQ = (a√(2/3)) (a√3/4)/(a√11/4) = a√(2/11);
Соответственно, искомое расстояние от центра грани SAC до KP (то есть до плоскости SMN, что то же самое - это надо доказать тоже) равно (2/3)KP = 2a√(2/11)/3 = 4√(2/11);
Численно √(2/11) = 0,4264.... с точностью до 5 знака после запятой (именно так :)) Но это все-таки лучше, чем первоначальный ответ, в котором катет KQ был больше гипотенузы KP.
1. Треугольник АВС и А₁В₁С₁ подобны. ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁ сходственные стороны. Найдите величину АВ и отношение площадей этих треугольников, если АС : А₁С₁ = 3 : 4, А₁В₁ = 12 см.
2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см. Площадь первого треугольника равна 8 см². Найти площадь второго треугольника.
1. АВ = 9 см
Sabc : Sa₁b₁c₁ = 9 : 16
2. 50 см²
Объяснение:
1. ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁, значит
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ = k
АВ : 12 = 3 : 4
АВ = 12 · 3 / 4 = 9 см
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
Sabc : Sa₁b₁c₁ = k²
Sabc : Sa₁b₁c₁ = (3/4)²
Sabc : Sa₁b₁c₁ = 9 : 16
2.
Треугольники подобны, значит
k = 2/5
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
S₁ : S₂ = 4 : 25
8 : S₂ = 4 : 25
S₂ = 8 · 25 / 4 = 50 см²
См. чертеж.
К - середина АС. Поскольку центр SAC лежит на SK на расстоянии SK/3 от К, то искомое расстояние равно 2/3 от KQ, где KQ перпендикуляр к SP (необходимые перпендикулярности всех прямых и плоскостей докажите сами, там все просто), Р - середина MN.
Если ребро пирамиды a = 6, то PN = a/4; (тут была ошибка! - приношу извинения)
SN = a√3/2;
Отсюда SP = √(SN^2 - PN^2) = a√(3/4 - 1/16) = a√11/4;
Прямоугольные треугольники SOP и PQK имеют общий острый угол KPS, поэтому они подобны.
Поэтому SO/SP = KQ/КР;
SO - это высота тетраэдра, SO = a√(2/3);
КР = a√3/4 (половина высоты грани)
получается
KQ = (a√(2/3)) (a√3/4)/(a√11/4) = a√(2/11);
Соответственно, искомое расстояние от центра грани SAC до KP (то есть до плоскости SMN, что то же самое - это надо доказать тоже) равно (2/3)KP = 2a√(2/11)/3 = 4√(2/11);
Численно √(2/11) = 0,4264.... с точностью до 5 знака после запятой (именно так :)) Но это все-таки лучше, чем первоначальный ответ, в котором катет KQ был больше гипотенузы KP.