До огэ 4 дня готовлюсь, вопрос. сторона равностороннего треугольника равна 20 корней 3 . найти радиус окружности,описанной около этого треугольника.

Сторона вписанного правильного многоугольника образует с радиусами описанной около него окружности равносторонний треугольник.
В нашем случае это треугольник с боковыми сторонами, равными 4√3 и основанием, равным 12см. По теореме косинусов найдем угол при вершине этого треугольника:
Cosα = (b²+c²-a²)/2bc. (α - между b и c). В нашем случае:
Cosα=(2*(4√3)²-12²)/(2*4√3)²=-48/(2*48)=-(1/2).
То есть центральный угол тупой и равен 120°.
Следовательно, число сторон нашего вписанного многоугольника равно 360°/120°=3. Это ответ.

P.S. Можно проверить по формуле радиуса описанной около правильного треугольника окружности: R=(√3/3)*a. В нашем случае
R=(√3/3)*12=4√3, что соответствует условию задачи.

Как я понял, нужно из трех вариантов выбрать правильный. Критерием того, могут ли три положительных числа быть сторонами треугольника, служит неравенство треугольника: сумма длин двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. При этом достаточно, проверить, что сумма длин самых маленьких сторон больше третьей стороны. 

В первом случае 4+5>7, значит, такой треугольник возможен.

Во втором случае 3+4=7, значит, такой треугольник невозможен (в этом случае треугольник как бы сплющивается в отрезок).

В третьем случае 4+7=11 - ситуация такая же, как и во втором случае. 

ответ: Третья сторона равна 5 см