До площини квадрата зі стороною 14 см через точку перетину діагоналей проведена пряма, перпендикулярна площині квадрата. На прямій відкладен відрізок довжиною 6 см.
Розрахуй відстань від точки до вершин квадрата (результат округли до однієї десятої).

Два решения

1)

Из треугольников  ABC, ACD соответственно по теор синусов  

CAB=a

CAD=b

BC/sina=AC/sin(a+2b)  

CD/sinb=AC/sin(2b+a)  

но BC=CD , тогда

sina/sin(a+2b) = sinb/sin(b+2a)

sina*sin(b+2a) - sinb*sin(a+2b) = 0

cos(a-b-2a)-cos(b+3a) - cos(b-a-2b)+cos(a+3b)=0

cos(a+3b)=cos(b+3a)

a+3b=b+3a

2b=2a

a=b  

CAB=CAD

2)

 Пусть AECF точка O пересечения диагоналей и OE=OF рассмотрим симметрию относительно точки O, точка Е перейдет в точку F, точка B в точку D по определению симметрии так как  CB=CD точка А перейдет в себя, тогда  AB=AD тогда  треугольники ABC=ACD  откуда

 180-2a-b=180-2b-a

3a=3b

a=b

∠АВС = 45°.

Объяснение:

В задачах, где в условии даны только отношения, угол обычно определяется также через отношения, то есть через тригонометрическую функцию.

Попробуем "приблизить" угол В к треугольнику AЕD с его медианами.

Заметим, что ∠СНМ = ∠В, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. DE - средняя линия треугольника АВС, так как соединяет середины сторон АС и ВС. Значит ∠EDC = ∠B.

Прямоугольные треугольники FQH (NC перпендикулярна DE) и FMD - подобны по острому углу c коэффициентом подобия k = AH:HF = 1:2.  =>

QF/HF = FM/DF = SinB.  (1)

В треугольнике ADE EF = FD (AF - медиана), а EQ = QF (EQ = (1/2)·AN (EQ - средняя линия треугоьника ACN) и QF =  (1/2)·AN (из подобия FQH и ANH по острому углу).

Значит FD = 2·QF.  (2)

ЕР параллельна DC (ЕР - средняя линия треугольника ADC) =>

AH=HM, AH = 2·HF => HM = 2·HF => FM=HF. (3)

Подставим в (1) полученные соотношения (2) и (3):

QF/HF = FM/DF  => QF/HF = HF/2QF =>  2·QF² = HF²  =>  √2·QF = HF.

Тогда SinB = QF/HF = QF/(√2·QF) = 1/√2  = √2/2.  =>

∠B = 45°.

Вариант 2. По теореме Менелая.

В треугольнике AFE и секущей HC:

(AH/HF)·(FQ/QE)·(EC/CA) =1  или (2/1)·(FQ/QE)·(1/2)  =1. =>  FQ=QE.

Тогда, так как EF=FD (AF -медиана), то FD = 2·FQ.

В треугольнике EDC и секущей AM:

(CM/MD)·(DF/FE)·(EA/AC) =1  или (CM/MD)·(1/1)·(1/2)  =1. =>  CM/MD = 2/1.

В треугольнике САМ и секущей ED:

(CE/EA)·(AF/FM)·(MD/DC) =1  или (1/2)·(AF/FM)·(1/3) =1.  => AF/FM =3/1.

Тогда, так как АН/HF = 2/1 (AF -медиана), то HF = FM.

Подставим в (1) полученные соотношения:

QF/HF = HF/(2·QF) => 2QF² = HF²  => HF = QF√2.

SinB = QF/HF = QF/(QF√2) = 1/√2 = √2/2.  =>

∠B = 45°.