А) Пусть дана равнобедренная трапеция АВСД, где АД=30 дм, АВ=СД=10 дм, ∠А=∠д=56°. Найти S.
Проведем высоты ВН и СК. Найдем АН из ΔАВН. ∠АВН=90-56=34° По теореме синусов sin 90°\AB=sin 34°\AH AH=10*0,5592=5,6 дм; КД=АН=5,6 дм. Найдем высоту ВН по теореме Пифагора: ВН²=10²-5,6²=100-31,36=68,64; ВН=8,3 дм. ВС=АД-АН-КД=30-5,6-5,6=18,8 дм. S=(ВС+АД):2*ВН=(18,8+30):2*8,3=203 дм² ответ: 203 дм²
б) Пусть дана трапеция АВСД - равнобедренная, ВС=20 дм, ВН=15 дм, ∠А=∠Д=34° Найти S.
Проведем высоты ВН и СК=15 дм. Найдем АВ из ΔАВН. sin34°\15=sin90°\АВ; АВ=15\0,5592=27 дм. АН²=АВ²-ВН²=729-225=504; АН=22,4 дм АН=КД=22,4 дм АД=22,4 + 20 + 22,4 = 64,8 дм
5. На рисунке прямые CD и EF параллельны сторонам треугольника ABC. Найдите углы треугольника CED, если ∠A = 72°, ∠B = 26°
Рассмотрим ΔABC
∠C = 180 - ∠A - ∠B = 180 - 72 - 26 = 82° (сумма углов треугольника равна 180°)
Рассмотрим четырехугольник AFEC
∠F = 180 - ∠A = 180 - 72 = 108° (односторонние при FD || AC и секущей AB)
∠E = 180 - ∠C = 180 - 82 = 98° (односторонние при FD || AC секущей BC)
∠CED = 180 - ∠FEC = 180 - 98 = 82° (смежные)
Рассмотрим четырехугольник AEDC
FD || AC (по условию)
AF || CD (по условию)
==> четырехугольник AEDC - параллелограмм
∠A = ∠D = 72° (в параллелограмме противоположные углы равны)
Рассмотрим ΔCED: ∠E = 82°, ∠D = 72°, ∠C - ?
∠C = 180 - ∠E - ∠D = 180 - 82 - 72 = 26° (сумма углов треугольника равна 180°)
ответ: ∠E = 82°, ∠D = 72°, ∠C = 26°
6. На рисунке треугольники ABC и DEF - прямоугольные, AB = DF, BC = DE. Докажите, что прямые AB и DF параллельны.
Рассмотрим ΔDEB и ΔBCA - прямоугольные
AB = DF (по условию)
BC = DE (по условию)
==> ΔDEB = ΔBCA по гипотенузе и катету ==> ∠F = ∠A - накрест лежащие для прямых DF и AB и их секущей AF
При параллельных прямых и их секущей накрест лежащие углы равны
==> DF || AB
Ч. т. д.
Найти S.
Проведем высоты ВН и СК.
Найдем АН из ΔАВН. ∠АВН=90-56=34°
По теореме синусов sin 90°\AB=sin 34°\AH
AH=10*0,5592=5,6 дм; КД=АН=5,6 дм.
Найдем высоту ВН по теореме Пифагора:
ВН²=10²-5,6²=100-31,36=68,64; ВН=8,3 дм.
ВС=АД-АН-КД=30-5,6-5,6=18,8 дм.
S=(ВС+АД):2*ВН=(18,8+30):2*8,3=203 дм²
ответ: 203 дм²
б) Пусть дана трапеция АВСД - равнобедренная, ВС=20 дм, ВН=15 дм, ∠А=∠Д=34°
Найти S.
Проведем высоты ВН и СК=15 дм.
Найдем АВ из ΔАВН.
sin34°\15=sin90°\АВ; АВ=15\0,5592=27 дм.
АН²=АВ²-ВН²=729-225=504; АН=22,4 дм
АН=КД=22,4 дм
АД=22,4 + 20 + 22,4 = 64,8 дм
S=(20+64,8):2*15=636 дм²
ответ: 636 дм²