Объяснение: Обозначим вершины трапеции А В С Д а точки касания К М Е Т, центр окружности О. стороны трапеции являются касательными к вписанной окружности и отрезки касательных соединяясь в одной вершине, равны от вершины до точки касания, поэтому ВК=ВМ=МС=СЕ=1см;
АК=АТ=ЕД=ТД=4см. Сложим эти цифры и получим стороны трапеции:
АВ=СД=4+1=4см; ВС=1+1=2см;
АД=4+4=8см.
Проведём из вершин верхнего основания к АД две высоты ВР и СН. Они делят АД так что РН=ВС=2см. Так как трапеция равнобедренная то:
АР=ДН=(АД-ВС)/2=(8- 2)÷2=6÷2=3см
АР=ДН=3см. Рассмотрим полученный ∆СДН. В нём СД -гипотенуза, а СН и ДН- катеты. Найдём высоту СН по теореме Пифагора: СН²=СД²-ДН²=
=5²-3²=25-9=16; СН=√16=4см
СН=4см. Теперь найдём площадь трапеции зная высоту и оба основания по формуле:
Обозначим вершины треугольника А В С а Высоту ВН. ВН делит ∆АВС на 2 прямоугольных треугольника АВН и СВН, в которых АН, СН и общая высота ВН - катеты, а АВ и ВС - гипотенуза. Пусть АВ=х, тогда ВС=х+3. Так как ВН -общая, то в она будет одной величины для двух треугольников. Составим уравнение используя теорему Пифагора:
АВ²-АН²=ВС²-СН²
х²-5²=(х+3)²-10²
х²+25=х²+6х+9-100 переносим х в левую сторону уравнения, а цифры в правую с противоположными знаками:
х²-х²-6х= -25+9-100
-6х= -66
х= –66/–6
х=11
Итак: АВ=11см, тогда ВС=11+3=14см
АС=5+10=15см
Теперь найдём периметр треугольника зная его стороны:
Р=11+14+15=40см
ответ: б) Р=40см
ЗАДАНИЕ 3
Обозначим вершины ромба А В С Д а точку пересечения диагоналей О. Диагонали ромба пересекаясь делятся на равные отрезки и делят углы пополам. Также они делят ромб на 4 одинаковых прямоугольных треугольника. Поэтому
угол АВО=углу СВО=30°; АО=СО;
ВО=ДО . По условиям ВД=4√3, тогда
ВО=ДО=4√3÷2=2√3см. Рассмотрим ∆АВО. В нём АВ- гипотенуза, а АО и ВО- катеты, угол АВО=30°, катет ВО=2√3см. Пусть АО=х. Катет лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ будет в 2 раза больше катета АО, и будет 2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора: АВ²-АО²=ВО²
(2х)²-х²=(2√3)²
4х²-х²=4×3
3х²=12
х²=12÷3
х²=4
х=√4
х=2
Итак: АО=2см, тогда АВ=2×2=4см.
Нам известна сторона ромба, теперь найдём его периметр:
Р=4×4=16см
ответ: а) 16см
ЗАДАНИЕ 4
Обозначим вершины треугольника А В С а биссектрисы других углов СК и АС а точку их пересечения О. Пусть угол С=20°, тогда сумма углов А и С=180-20=160°. Рассмотрим полученный ∆ АОС. Мы нашли сумму углов А и С, и так как их делят биссектрисы пополам, запишем их так: (А+С)/2.
Угол АОС=180-160/2=180-80=100°. Найден тупой угол между биссектриса и, теперь найдём острые углы между ними АОК и СОМ, знаю что сумма углов образуемых при пересечении составляет 360°:
Угол АОК=углу СОМ=(360-2×100)/2=
=(360-200)/2=160/2=80°
ОТВЕТ: в) острый угол между биссектрисами=80°
ЗАДАНИЕ 5
Чтобы найти угол А, воспользуемся теоремой косинусов:
ответ: S=20см²
Объяснение: Обозначим вершины трапеции А В С Д а точки касания К М Е Т, центр окружности О. стороны трапеции являются касательными к вписанной окружности и отрезки касательных соединяясь в одной вершине, равны от вершины до точки касания, поэтому ВК=ВМ=МС=СЕ=1см;
АК=АТ=ЕД=ТД=4см. Сложим эти цифры и получим стороны трапеции:
АВ=СД=4+1=4см; ВС=1+1=2см;
АД=4+4=8см.
Проведём из вершин верхнего основания к АД две высоты ВР и СН. Они делят АД так что РН=ВС=2см. Так как трапеция равнобедренная то:
АР=ДН=(АД-ВС)/2=(8- 2)÷2=6÷2=3см
АР=ДН=3см. Рассмотрим полученный ∆СДН. В нём СД -гипотенуза, а СН и ДН- катеты. Найдём высоту СН по теореме Пифагора: СН²=СД²-ДН²=
=5²-3²=25-9=16; СН=√16=4см
СН=4см. Теперь найдём площадь трапеции зная высоту и оба основания по формуле:
S=(BC+AД)/2×СН=
=(2+8)/2×4=10÷2×4=5×4=20см²
S=20см²
Объяснение: ЗАДАНИЕ 2
Обозначим вершины треугольника А В С а Высоту ВН. ВН делит ∆АВС на 2 прямоугольных треугольника АВН и СВН, в которых АН, СН и общая высота ВН - катеты, а АВ и ВС - гипотенуза. Пусть АВ=х, тогда ВС=х+3. Так как ВН -общая, то в она будет одной величины для двух треугольников. Составим уравнение используя теорему Пифагора:
АВ²-АН²=ВС²-СН²
х²-5²=(х+3)²-10²
х²+25=х²+6х+9-100 переносим х в левую сторону уравнения, а цифры в правую с противоположными знаками:
х²-х²-6х= -25+9-100
-6х= -66
х= –66/–6
х=11
Итак: АВ=11см, тогда ВС=11+3=14см
АС=5+10=15см
Теперь найдём периметр треугольника зная его стороны:
Р=11+14+15=40см
ответ: б) Р=40см
ЗАДАНИЕ 3
Обозначим вершины ромба А В С Д а точку пересечения диагоналей О. Диагонали ромба пересекаясь делятся на равные отрезки и делят углы пополам. Также они делят ромб на 4 одинаковых прямоугольных треугольника. Поэтому
угол АВО=углу СВО=30°; АО=СО;
ВО=ДО . По условиям ВД=4√3, тогда
ВО=ДО=4√3÷2=2√3см. Рассмотрим ∆АВО. В нём АВ- гипотенуза, а АО и ВО- катеты, угол АВО=30°, катет ВО=2√3см. Пусть АО=х. Катет лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ будет в 2 раза больше катета АО, и будет 2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора: АВ²-АО²=ВО²
(2х)²-х²=(2√3)²
4х²-х²=4×3
3х²=12
х²=12÷3
х²=4
х=√4
х=2
Итак: АО=2см, тогда АВ=2×2=4см.
Нам известна сторона ромба, теперь найдём его периметр:
Р=4×4=16см
ответ: а) 16см
ЗАДАНИЕ 4
Обозначим вершины треугольника А В С а биссектрисы других углов СК и АС а точку их пересечения О. Пусть угол С=20°, тогда сумма углов А и С=180-20=160°. Рассмотрим полученный ∆ АОС. Мы нашли сумму углов А и С, и так как их делят биссектрисы пополам, запишем их так: (А+С)/2.
Угол АОС=180-160/2=180-80=100°. Найден тупой угол между биссектриса и, теперь найдём острые углы между ними АОК и СОМ, знаю что сумма углов образуемых при пересечении составляет 360°:
Угол АОК=углу СОМ=(360-2×100)/2=
=(360-200)/2=160/2=80°
ОТВЕТ: в) острый угол между биссектрисами=80°
ЗАДАНИЕ 5
Чтобы найти угол А, воспользуемся теоремой косинусов:
cosA=(a²-b²-c²)/-2ab=(7²-8²-5²)/(-2×8×5)=
=(49-64-25)/-80= -40/-80=1/2
cos1/2=60°
ответ: г) угол А=60°