Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, то есть образуется 4 равнобедренных треугольника, противолежащие треугольники притом равны.
Каждый угол прямоугольника равен 90 градусам, то есть диагональ делит каждый угол на два угла, равных 40 и 50 градусам.
У двух из четырёх треугольников углы при основании будут равны 40 градусам, из этих треугольников можно найти один из углов пересечения диагоналей: 180-40-40=100. Второй угол пересечения будет равен: 180-100=80 градусов
1) Дана трапеция АВСД. ВС+АД = 9, АС = 5, ВД = √34. Найти площадь трапеции.
Можно построить равновеликий треугольник АСД1 со сторонами 5, 9 и √34 и найти его площадь по формуле Герона, но одна сторона выражена корнем.
Поэтому находим косинус угла САД1. cos(САД1) = (25+81-34)/(2*90 = 5*9) = 72/90 = 4/5. Синус этого угла равен √(1-(16/25)) = √(9/25) = 3/5. Тогда искомая площадь равна: S = (1/2)*5*9*(3/5) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
2) Дана трапеция с основаниями ВС =10 и АД =15, и с диагоналями АС = 2√61 и ВД = 3√41. Найти её площадь и выяснить: можно ли в эту трапецию вписать окружность и описать около неё окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны.
Построим равновеликий треугольник АСД1 с боковыми сторонами как диагонали трапеции и основанием АД1 = 10 + 15 = 25. Из точки С опустим перпендикуляр СЕ = Н (это высота и треугольника и трапеции). Примем АЕ = х, ЕД1 = 25 - х. По Пифагору Н² = АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)². Приравняем: АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)² и подставим длины диагоналей. 244 - х² = 369 -625 + 50х - х². 50х = 500. х = 500/50 = 10. Так как АЕ = ВС, то угол А трапеции прямой. Сторона АВ = Н = 12. Сторона СД = √(12² + (15-10)²) = √(144 + 25) = √169 = 13. ответ: S = ((10+15)/2)*12 = 25*6 = 150 кв.ед. По окружностям - нет и нет.
3) Из условия вытекает, что трапецию можно отрезком СЕ, параллельным АД, разделить на 2 фигуры: АДСЕ с равными сторонами (это ромб с диагоналями а и в) и равнобедренный треугольник СЕВ (СЕ = ЕВ). Высота этого треугольника из подобия треугольников равна половине АС, то есть равна а/2. Поэтому площадь заданной трапеции равна: S = (1/2)a*b + (1/2)*(a/2)*b = (ab/2) + (ab/4) = 3ab/4.
Каждый угол прямоугольника равен 90 градусам, то есть диагональ делит каждый угол на два угла, равных 40 и 50 градусам.
У двух из четырёх треугольников углы при основании будут равны 40 градусам, из этих треугольников можно найти один из углов пересечения диагоналей: 180-40-40=100.
Второй угол пересечения будет равен: 180-100=80 градусов
Найти площадь трапеции.
Можно построить равновеликий треугольник АСД1 со сторонами 5, 9 и √34 и найти его площадь по формуле Герона, но одна сторона выражена корнем.
Поэтому находим косинус угла САД1.
cos(САД1) = (25+81-34)/(2*90 = 5*9) = 72/90 = 4/5.
Синус этого угла равен √(1-(16/25)) = √(9/25) = 3/5.
Тогда искомая площадь равна:
S = (1/2)*5*9*(3/5) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
2) Дана трапеция с основаниями ВС =10 и АД =15, и с диагоналями АС = 2√61 и ВД = 3√41.
Найти её площадь и выяснить: можно ли в эту трапецию вписать окружность и описать около неё окружность?
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.
В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны.
Построим равновеликий треугольник АСД1 с боковыми сторонами как диагонали трапеции и основанием АД1 = 10 + 15 = 25.
Из точки С опустим перпендикуляр СЕ = Н (это высота и треугольника и трапеции).
Примем АЕ = х, ЕД1 = 25 - х.
По Пифагору Н² = АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)².
Приравняем: АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)² и подставим длины диагоналей.
244 - х² = 369 -625 + 50х - х².
50х = 500.
х = 500/50 = 10.
Так как АЕ = ВС, то угол А трапеции прямой.
Сторона АВ = Н = 12.
Сторона СД = √(12² + (15-10)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
ответ: S = ((10+15)/2)*12 = 25*6 = 150 кв.ед.
По окружностям - нет и нет.
3) Из условия вытекает, что трапецию можно отрезком СЕ, параллельным АД, разделить на 2 фигуры: АДСЕ с равными сторонами (это ромб с диагоналями а и в) и равнобедренный треугольник СЕВ (СЕ = ЕВ). Высота этого треугольника из подобия треугольников равна половине АС, то есть равна а/2.
Поэтому площадь заданной трапеции равна:
S = (1/2)a*b + (1/2)*(a/2)*b = (ab/2) + (ab/4) = 3ab/4.