Сторона AB, равная 8, правильного треугольника ABC лежит в плоскости альфа, а длины проекций двух других его сторон на эту плоскость равны 2√7. Найдите: а) длину проекций медианы CK данного треугольника на плоскость альфа; б) расстояние от точки C до плоскости альфа
Решение.
1) Так как ΔАВС - правильный, то АВ = ВС = АС = 8.
2) В правильном треугольнике АВС его медиана СК является высотой, соответственно и в проекции АВС₁ треугольника АВС на плоскость α проекция С₁K медианы СК является и медианой, и высотой равнобедренного ΔАВС₁ со сторонами: АВ = 8, ВС₁ = АС₁ = 2√7.
3) В прямоугольном ΔАКС₁ сторона АС₁ является гипотенузой, а стороны АК и КС₁ являются катетами, при этом АК = АВ/2 = 8/2 = 4.
По теореме Пифагора находим длину проекции медианы:
Таким образом, длина проекции медианы CK данного треугольника на плоскость α = 2√3
4) В прямоугольном ΔАСС₁, образованном стороной АС треугольника АВС, её проекцией АС₁ на плоскость α, а также перпендикуляром СС₁, опущенным из точки С на плоскость α и являющимся кратчайшим расстоянием от точки С до плоскости α, сторона АС является гипотенузой треугольника АСС₁, а стороны АС₁ и СС₁ - его катетами. ПО теореме Пифагора находим СС₁:
Даны вершины треугольника АВС: А(0;3), В(1; -4), С(5;2).
а) уравнение стороны АВ. Вектор АВ = (1-0; -4-3) = (1; -7).
Уравнение: x/1 = (y - 3)/(-7) или 7x + y - 3 = 0 в общем виде.
б) уравнение медианы АМ.
Находим координаты точки М как середины стороны ВС.
В(1; -4), С(5;2)
М = (В (1;-4) + С (5;2))/2 = (3; -1). Точка А ( 0; 3).
Вектор АМ = (3-0; -1-3) = (3; -4).
Уравнение АМ: x/3 = (y - 3)/(-4).
Или в общем виде 4x + 3y - 9 = 0.
в) длина медианы АМ.
Вектор АМ = (3-0; -1-3) = (3; -4).
Длина (модуль) |AB| = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
а) 2√3 б) 6.
Объяснение:
Условие задачи.
Сторона AB, равная 8, правильного треугольника ABC лежит в плоскости альфа, а длины проекций двух других его сторон на эту плоскость равны 2√7. Найдите: а) длину проекций медианы CK данного треугольника на плоскость альфа; б) расстояние от точки C до плоскости альфа
Решение.
1) Так как ΔАВС - правильный, то АВ = ВС = АС = 8.
2) В правильном треугольнике АВС его медиана СК является высотой, соответственно и в проекции АВС₁ треугольника АВС на плоскость α проекция С₁K медианы СК является и медианой, и высотой равнобедренного ΔАВС₁ со сторонами: АВ = 8, ВС₁ = АС₁ = 2√7.
3) В прямоугольном ΔАКС₁ сторона АС₁ является гипотенузой, а стороны АК и КС₁ являются катетами, при этом АК = АВ/2 = 8/2 = 4.
По теореме Пифагора находим длину проекции медианы:
С₁K = √ ((АС₁)²-(АК)²) = √ ((2√7)²-(4)²) = √ (4*7 - 16) = √12 = 2√3
Таким образом, длина проекции медианы CK данного треугольника на плоскость α = 2√3
4) В прямоугольном ΔАСС₁, образованном стороной АС треугольника АВС, её проекцией АС₁ на плоскость α, а также перпендикуляром СС₁, опущенным из точки С на плоскость α и являющимся кратчайшим расстоянием от точки С до плоскости α, сторона АС является гипотенузой треугольника АСС₁, а стороны АС₁ и СС₁ - его катетами. ПО теореме Пифагора находим СС₁:
СС₁ = √ ((АС)²-(АС₁)²) = √ ((8)²-(2√7)²) = √ (64 - 4*7) = √36 = 6.
Таким образом, расстояние от точки C до плоскости альфа равно 6.
ответ: а) длина проекции медианы CK данного треугольника на плоскость альфа равна 2√3; б) расстояние от точки C до плоскости альфа равно 6.