Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. В нашем случае искомый угол - это угол между высотой СН треугольника (плоскости) АВС и высотой DH треугольника (плоскости) DAB. Поместим начало координат в точку D(0;0;0). Тогда имеем точки: А(0;а;0), В(0;0;а), С(а;0;0). Найдем координаты точки Н, как середины отрезка АВ: Н(0;а/2;а/2). Тогда вектор DH{0;а/2;а/2}, его модуль |DH|=√(2a²/4)=a√2/2, вектор СН{-a;a/2;a/2}, его модуль |HC|=√(6a²/4)=a√6/2. Cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(|DH|*|HC|) или Cosα=(0+а²/4+а²/4)/(а²√12/4)=(2а²*4)/(4*а²√12)=2/√12=√3/3. ответ: Искомый угол равен α=arccos√3/3 или α≈54,74°.
ответ: 36
Объяснение:
Медиана делит треугольник на два равновеликих, значит
Sabk = Sbkc = 1/2 Sabc = 1/2 · 80 = 40
По условию BD : CD = 1 : 3.
Пусть BD = a, тогда CD = 3a.
Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, значит
AB : AC = BD : CD = 1 : 3
Пусть АВ = b, тогда АС = 3b, а АК = 1,5b (ВК медиана).
Из вершины В проведем прямую, параллельную АС. Точка Т - точка пересечения ее с лучом AD.
Получаем две пары подобных треугольников:
1) ΔBTD ~ ΔCAD по двум углам (∠Т = ∠А как накрест лежащие, углы при вершине D вертикальные),
BT : AC = BD : CD = 1 : 3, ⇒
так как АС = 3b, то ВТ = b.
2) ΔВЕТ ~ΔКЕА так же по двум углам,
ВЕ : ЕК = ВТ : АК = b : (1,5b) = 2 : 3
ВЕ = 2с, ЕК = 3с.
_____________________________________________
Sbkc = 1/2 · BC · BK · sinα = 1/2 · 4a · 5с · sinα = 10ac·sinα = 40
ac·sinα = 4
Площадь желтого треугольника:
Sbed = 1/2 · BD · BE · sinα = 1/2 · a · 2c · sinα = ac·sinα = 4
Площадь четырехугольника EDCK:
Sedck = Sbkc - Sbed = 40 - 4 = 36 кв. ед.
В нашем случае искомый угол - это угол между высотой СН треугольника (плоскости) АВС и высотой DH треугольника (плоскости) DAB.
Поместим начало координат в точку D(0;0;0). Тогда имеем точки:
А(0;а;0), В(0;0;а), С(а;0;0).
Найдем координаты точки Н, как середины отрезка АВ:
Н(0;а/2;а/2).
Тогда вектор DH{0;а/2;а/2}, его модуль |DH|=√(2a²/4)=a√2/2,
вектор СН{-a;a/2;a/2}, его модуль |HC|=√(6a²/4)=a√6/2.
Cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(|DH|*|HC|) или
Cosα=(0+а²/4+а²/4)/(а²√12/4)=(2а²*4)/(4*а²√12)=2/√12=√3/3.
ответ: Искомый угол равен α=arccos√3/3 или α≈54,74°.