Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a²√3/4, где а - сторона треугольника.
Доказательство: Проведем ВН - высоту равностороннего треугольника. Пусть ее длина равна h. Высота в равностороннем треугольнике является и медианой. Тогда АН = НС = а/2.
Площадь треугольника можно найти по формуле S = a·h/2 Из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора выразим высоту через сторону: h² = a² - (a/2)² = a² - a²/4 = 3a²/4 h = √(3a²/4) = a√3/2
Подставим в формулу площади: S = (a · a√3/2)/2 S = a²√3/4
Высоту через сторону можно было выразить иначе: в равностороннем треугольнике углы равны 60°. Из прямоугольного треугольника АВН по определению синуса: sin∠A = h/a, sin60° = √3/2 h = a·sin60° = a√3/2
S = a²√3/4, где а - сторона треугольника.
Доказательство:
Проведем ВН - высоту равностороннего треугольника.
Пусть ее длина равна h. Высота в равностороннем треугольнике является и медианой. Тогда АН = НС = а/2.
Площадь треугольника можно найти по формуле
S = a·h/2
Из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора выразим высоту через сторону:
h² = a² - (a/2)² = a² - a²/4 = 3a²/4
h = √(3a²/4) = a√3/2
Подставим в формулу площади:
S = (a · a√3/2)/2
S = a²√3/4
Высоту через сторону можно было выразить иначе:
в равностороннем треугольнике углы равны 60°.
Из прямоугольного треугольника АВН по определению синуса:
sin∠A = h/a,
sin60° = √3/2
h = a·sin60° = a√3/2